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8.2 FLUJO EN UN CANAL ABIERTO 203

Solución. La relación fundamental entre flujo y profundidad es la ecuación de conti-
nuidad
(8.5)
Q = UA c
2
donde A = área de la sección transversal del canal (m ). Dependiendo de la forma del
c
canal, el área puede relacionarse con la profundidad por medio de varias expresiones
funcionales. Para el canal rectangular mostrado en la figura 8.1, A = BH. Al sustituir
c
esta expresión en la ecuación (8.5) se obtiene
Q = UBH (8.6)

donde B = ancho (m). Debe observarse que la ecuación de continuidad se obtiene de la
conservación de la masa (recuerde la tabla 1.1).
Ahora, aunque la ecuación (8.6) ciertamente relaciona los parámetros del canal, no
es suficiente para responder nuestra pregunta. Suponiendo que se conoce B, se tiene una
ecuación y dos incógnitas (U y H). Por lo tanto, se requiere una ecuación adicional. Para
flujo uniforme (significa que el flujo no varía con la distancia ni con el tiempo), el in-
geniero irlandés Robert Manning propuso la siguiente fórmula semiempírica (llamada
en forma apropiada ecuación de Manning)

U = 1 RS / (8.7)
23 1 2/
n
donde n = coeficiente de rugosidad de Manning (un número adimensional que toma en
cuenta la fricción del canal), S = pendiente del canal (adimensional, metros de caída por
longitud en metros) y R = radio hidráulico (m), el cual se relaciona con los parámetros
fundamentales mediante

R = A c (8.8)
P

donde P = perímetro mojado (m). Como su nombre lo indica, el perímetro mojado es la
longitud de los lados y el fondo del canal que está bajo el agua. Por ejemplo, para un
canal rectangular, éste se define como

P = B + 2H (8.9)
Se debe observar que así como la ecuación de continuidad se obtiene de la conservación
de la masa, la ecuación de Manning es una expresión de la conservación del momentum.
En particular, indica cómo la velocidad depende de la rugosidad, una manifestación de
la fricción.
Aunque el sistema de ecuaciones no lineales (8.6 y 8.7) puede resolverse simultá-
neamente (por ejemplo, usando el método de Newton-Raphson multidimensional que se
describe en la sección 6.5.2), un método más simple sería la combinación de ecuaciones.
La ecuación (8.7) se sustituye en la ecuación (8.6) y se obtiene

Q = BH RS / (8.10)
23 1 2/
n

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