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204 ESTUDIO DE CASOS: RAÍCES DE ECUACIONES

Así, el radio hidráulico, ecuación (8.8), junto con las diferentes relaciones para un
canal rectangular, se sustituye:

Q = S 12/ ( BH) 5 3/ (8.11)
n ( B + 2 H) 23/

De esta forma, la ecuación contiene ahora una sola incógnita H junto con el valor dado
de Q y los parámetros del canal (n, S y B).
Aunque se tiene una ecuación con una incógnita, es imposible resolverla en forma
explícita para encontrar H. Sin embargo, la profundidad se determina numéricamente,
al reformular la ecuación como un problema de raíces.

ƒ()H = S / 12 (BH ) / 5 3 / 23 – Q = 0 (8.12)
n (B 2 )
+ H
La ecuación (8.12) se resuelve rápidamente con cualquiera de los métodos para
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localizar raíces, descritos en los capítulos 5 y 6. Por ejemplo, si Q = 5 m /s, B = 20 m,
n = 0.03 y S = 0.0002, la ecuación es
(20 H ) / 53
ƒ()H = .0 471405 / 23 – 50 (8.13)
=
(20 + H2 )
Puede resolverse para H = 0.7023 m. El resultado se verifica sustituyéndolo en la ecua-
ción (8.13):

(20 × .0 7023 ) / 53 –5
= .8
ƒ()H = .0 471405 / 23 – 57 ×10 (8.14)
(20 +× .2 0 7023 )
que se acerca bastante a cero.
La otra incógnita, la velocidad, ahora se determina por sustitución en la ecuación
(8.6),
Q 5
U = = = 0 356. m/s (8.15)
BH 20 0 7023(. )
Así, se tiene una solución satisfactoria para la profundidad y la velocidad.
Ahora se buscará analizar un poco más los aspectos numéricos de este problema.
Una pregunta pertinente sería: ¿Cómo hacer para obtener un buen valor inicial para el
método numérico? La respuesta depende del tipo de método.
Para los métodos cerrados, como el de bisección y el de la falsa posición, se deter-
minaría, si es posible, estimar valores iniciales inferiores y superiores que contengan
siempre una sola raíz. Un método conservador podría ser elegir cero como el límite in-
ferior. Y, si se conoce, la profundidad máxima posible que puede presentarse, este valor
serviría como valor inicial superior. Por ejemplo, todos los ríos, con excepción de los
más grandes del mundo, tienen menos de 10 metros de profundidad. Por lo tanto,
se toman 0 y 10 como límites del intervalo para H.
Si Q > 0 y H = 0, la ecuación (8.12) siempre será negativa para el valor inicial in-
ferior. Conforme H se incrementa, la ecuación (8.12) también se incrementará en forma

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