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8.2 FLUJO EN UN CANAL ABIERTO 205

monótona, y finalmente será positiva. Por lo tanto, los valores iniciales deberán conte-
ner una sola raíz en la mayoría de los casos que se estudian con ríos y arroyos natu-
rales.
Ahora, una técnica como la de bisección debería ser muy confiable en la búsqueda
de una raíz. ¿Pero qué precio se paga? Al usar tal ancho del intervalo y una técnica como
la de bisección, el número de iteraciones para obtener una precisión deseada podría ser
computacionalmente excesivo. Por ejemplo, si se elige una tolerancia de 0.001 m, la
ecuación (5.5) sirve para calcular

n = log(10 / 0.001) = 13 3.
log 2

Así, se requieren 14 iteraciones. Aunque esto ciertamente no sería costoso para un solo
cálculo, podría ser exorbitante si se efectuaran muchas de estas evaluaciones. Las alter-
nativas serían: estrechar el intervalo inicial (en base a un conocimiento específico del
sistema), usar un método cerrado más eficiente (como el de la falsa posición) o confor-
marse con una menor precisión.
Otra forma de tener una mejor eficiencia sería utilizar un método abierto como el
de Newton-Raphson o el de la secante. Por supuesto que en tales casos el problema de
los valores iniciales se complica al considerar la convergencia.
Se obtiene una mayor comprensión de este problema examinando al menos eficien-
te de los métodos abiertos: iteración de punto fijo. Al analizar la ecuación (8.11), se
observa que hay dos modos sencillos para despejar H; esto es, se resuelve tanto para H
en el numerador,

/ 35
H = ( Qn) ( B + 2 H) / 2 5 (8.16)
BS / 310

como para H en el denominador,

⎤
3
(
H = 1 ⎡ ⎢ SBH) 5 2/ – B (8.17)
⎥
2 ⎣ ( Qn) 32/ ⎦
Ahora, aquí es donde el razonamiento físico puede ayudar. En la mayoría de los ríos
y arroyos, el ancho es mucho mayor que la profundidad. Así, la cantidad B + 2H no
varía mucho. De hecho, debe ser aproximadamente igual a B. Por lo contrario, BH es
directamente proporcional a H. En consecuencia, la ecuación (8.16) deberá converger
más rápido a la raíz, lo cual se verifica al sustituir los límites del intervalo H = 0 y 10
en ambas ecuaciones. Con la ecuación (8.16), los resultados son 0.6834 y 0.9012, que
son cercanos a la raíz verdadera, 0.7023. En contraste, los resultados con la ecuación
(8.17) son –10 y 8 178, los cuales están alejados claramente de la raíz.
La superioridad de la ecuación (8.16) se manifiesta además al graficar sus compo-
nentes (recuerde la figura 6.3). Como se observa en la figura 8.2, la componente g(H)
de la ecuación (8.16) es casi horizontal. Así, esta ecuación no únicamente converge, sino
que debe hacerlo con rapidez. En cambio, la componente g(H) de la ecuación (8.17) es
casi vertical, indicando así una fuerte y rápida divergencia.

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