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PT3.2 ANTECEDENTES MATEMÁTICOS 237

se conocen como vectores columna. Para simplificar, se elimina el segundo subíndice.
Como en el caso del vector renglón, en ocasiones se desea emplear una notación breve
especial para distinguir una matriz columna de otros tipos de matrices. Una forma para
realizarlo consiste en emplear paréntesis de llave, así {C}.
A las matrices en las que n = m se les llama matrices cuadradas. Por ejemplo, una
matriz de 4 por 4 es
a a a ⎤
a ⎡ 11 12 13 14
⎢ ⎥
[]A = ⎢ a 21 a 22 a 23 a 24 ⎥
a ⎥
a ⎢
⎢ 31 a 32 a 33 34 ⎥
a
⎣ 41 a 42 a 43 a 44 ⎦
A la diagonal que contiene los elementos a , a , a , a se le llama diagonal principal
33
11
22
44
de la matriz.
Las matrices cuadradas resultan particularmente importantes cuando se resuelven
sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. En tales sistemas, el número de ecuaciones
(que corresponde a los renglones) y el número de incógnitas (que corresponde a las
columnas) debe ser igual para que sea posible tener una solución única.* En consecuen-
cia, cuando se trabaja con tales sistemas se tienen matrices cuadradas de coeficientes.
Algunos tipos especiales de matrices cuadradas se describen en el cuadro PT3.1.
PT3.2.2 Reglas de operaciones con matrices
Ahora que ya especificamos el significado de una matriz, podemos definir algunas reglas
de operación que rigen su uso. (Igualdad de matrices) Dos matrices n por m son iguales
si, y sólo si, cada elemento en la primera matriz es igual a cada elemento en la segunda
matriz; es decir, [A] = [B] si a = b para todo i y j.
ij
ij
La suma de dos matrices, por ejemplo, [A] y [B], se obtiene al sumar los términos
correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz resultante [C] son:
c = a + b ij
ij
ij
para i = 1, 2, …, n y j = 1, 2, …, m. De manera similar, la resta de dos matrices, por
ejemplo, [E] menos [F], se obtiene al restar los términos correspondientes así:

d = e – f ij
ij
ij
para i = 1, 2, …, n y j = 1, 2, …, m. De las definiciones anteriores se concluye directa-
mente que la suma y la resta sólo pueden realizarse entre matrices que tengan las mismas
dimensiones.
La suma es conmutativa:
[A] + [B] = [B] + [A]
La suma también es asociativa; es decir,
([A] + [B]) + [C] = [A] + ([B] + [C])

* Sin embargo, debe notarse que en este tipo de sistemas puede suceder que no tengan soluciones o exista
una infi nidad de éstas.

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