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242 ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

La transpuesta tiene muchas funciones en álgebra matricial. Una ventaja es que
permite escribir un vector columna como un renglón. Por ejemplo, si
c ⎧ ⎫
1
⎪ ⎪
⎪ ⎪
c
2
{}C = ⎨ ⎬
c
⎪ ⎪
3
c ⎪ ⎪
⎩ ⎭
4
entonces
{C} = ⎣c c c c ⎦
T
2
1
3
4
donde el superíndice T indica la transpuesta. Por ejemplo, esto puede ahorrar espacio
cuando se escribe un vector columna. Además, la transpuesta tiene diversas aplicaciones
matemáticas.
La traza de una matriz es la suma de los elementos en su diagonal principal, se
designa como tr [A] y se calcula como
n
tr [ ]A = ∑ a ii
i=1
La traza se usará en el análisis de valores propios en el capítulo 27.
La última manipulación de una matriz que resultará de utilidad para nuestro análi-
sis es la aumentación. Una matriz es aumentada al agregar una columna (o columnas) a
la matriz original. Por ejemplo, suponga que tenemos una matriz de coeficientes:
a ⎡ 11 a 12 a ⎤
13
[]A = ⎢ ⎢ a 21 a 22 a 23 ⎥ ⎥
a ⎢ a a ⎥ ⎦
⎣ 31 32 33
Por ejemplo, se puede aumentar esta matriz [A] con una matriz identidad (recuerde el
cuadro PT3.1) para obtener una matriz de dimensiones 3 por 6:
a ⎡ 11 a 12 a 13 100 ⎤
[]A = ⎢ ⎢ a 21 a 22 a 23 01 0 ⎥ ⎥
a ⎢ a a 001 ⎥ ⎦
⎣ 31 32 33
Tal expresión es útil cuando debe ejecutarse un conjunto de operaciones idénticas sobre
dos matrices. Así, podemos realizar las operaciones sobre una sola matriz aumentada,
en lugar de hacerlo sobre dos matrices individuales.

PT3.2.3 Representación de ecuaciones algebraicas lineales
en forma matricial

Debe ser claro que las matrices proporcionan una notación concisa para representar ecua-
ciones lineales simultáneas. Por ejemplo, la ecuación (PT3.1) puede expresarse como
[A]{X} = {B} (PT3.5)

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