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PT3.2 ANTECEDENTES MATEMÁTICOS 239

El producto de dos matrices se representa como [C] = [A][B], donde los elementos de
[C] están definidos como (véase cuadro PT3.2 para tener una forma simple de concep-
tualizar la multiplicación de matrices)
ij ∑
c = n a b (PT3.2)
ik kj
k=1
donde n = la dimensión columna de [A] y la dimensión renglón de [B]. Es decir, el ele-
mento c se obtiene al sumar el producto de elementos individuales del i-ésimo renglón
ij
de la primera matriz, en este caso [A], por la j-ésima columna de la segunda matriz [B].
De acuerdo con esta definición, la multiplicación de dos matrices se puede realizar
sólo si la primera matriz tiene tantas columnas como el número de renglones en la segun-
da matriz. (Conformidad del producto.) Así, si [A] es una matriz n por m, [B] podría ser
una matriz m por l. En este caso, la matriz resultante [C] tendrá dimensión n por l. Sin

Cuadro PT3.2 Un método simple para multiplicar dos matrices

Aunque la ecuación (PT3.2) es adecuada para implementarse en ⎡ 5 9⎤
una computadora, no es el medio más simple para visualizar la ⎢ ⎣ 7 2 ⎥ ⎦
mecánica de multiplicar dos matrices. Lo que sigue es una forma ↓
más tangible de entender la operación.
× + ×
Suponga que queremos multiplicar [X] por [Y] para obtener ⎡ 31⎤→ ⎡ 3 5 1 7 = 22 ⎤
[Z], donde ⎢ 86 ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡31 ⎤ ⎤ ⎢ ⎣ 04⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦
⎢
[] [ ][ ]Z = X Y = 86 ⎥ ⎡59 ⎥ De esta manera, z 11 es igual a 22. El elemento z 21 se calcula de
⎥ ⎢
⎢
⎣ ⎢04 ⎥ ⎦ ⎣ 72 ⎦ manera semejante así:
⎡ 5 9⎤
Una forma simple para visualizar el cálculo de [Z] es subir [Y] ⎢ ⎣ 7 2 ⎥ ⎦
así:
↓
⇑ ⎡ 31⎤ ⎡ 22 ⎤
⎥
⎢ 86 → ⎢ 8567 = ⎥
×+×
⎡59 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 82 ⎥
⎢ ⎥ ←[]Y ⎢ ⎣ 04⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦
⎣ 72 ⎦
⎡31 ⎤ ⎡ ⎤ Los cálculos continúan en esta forma, siguiendo la alinea-
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
[]X → 86 ? ←[ ]Z ción de renglones y columnas, para obtener el resultado
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣
⎣ ⎢04 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎡22 29 ⎤
⎢ ⎥
[]Z = 82 84 ⎥
⎢
Ahora, la matriz [Z] se puede calcular en el espacio dejado por ⎣ ⎢28 8 ⎥ ⎦
[Y]. Este formato es útil, ya que alinea los renglones y columnas
apropiados para que se multipliquen. Por ejemplo, de acuerdo Observe cómo este método simple explica el porqué es imposible
con la ecuación (PT3.2), el elemento z 11 se obtiene al multiplicar multiplicar dos matrices si el número de columnas de la primera
el primer renglón de [X] por la primera columna de [Y]. Esta matriz no es igual al número de renglones en la segunda matriz.
cantidad se obtiene al sumar el producto de x 11 por y 11 al produc- Note también la importancia del orden en la multiplicación (es
to de x 12 por y 21 así: decir, la multiplicación de matrices no es conmutativa).

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