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10.1 DESCOMPOSICIÓN LU 291

• Los factores generados durante la fase de eliminación se guardan en la parte inferior
de la matriz. Esto puede hacerse debido a que de cualquier manera éstos se convier-
ten en ceros y no son necesarios en la solución final. Este almacenamiento ahorra
espacio.
• El algoritmo lleva cuenta del pivoteo al usar un vector de orden o. Esto acelera
notablemente el algoritmo, ya que sólo se pivotea el vector (y no todo el renglón).
• Las ecuaciones no están escaladas, pero se usan valores escalados de los elementos
para determinar si se va a usar el pivoteo.
• El término de la diagonal se verifica durante la fase de pivoteo para detectar ocu-
rrencias cercanas a cero con el propósito de advertir al usuario respecto de sistemas
singulares. Si baja de un valor er = –1, entonces se ha detectado una matriz singular
y se debe terminar el cálculo. El usuario le da a un parámetro tol un valor pequeño,
para detectar ocurrencias cercanas a cero.

10.1.4 Descomposición Crout
Observe que en la descomposición LU con la eliminación de Gauss, la matriz [L] tiene
números 1 en la diagonal. Formalmente, a esto se le denomina descomposición o facto-
rización de Doolittle. Un método alternativo usa una matriz [U] con números 1 sobre la
diagonal. Esto se conoce como descomposición Crout. Aunque hay algunas diferencias
entre estos métodos, su funcionamiento es comparable (Atkinson, 1978; Ralston y Ra-
binowitz, 1978).
a)
El método de descomposición de Crout genera [U] y [L] barriendo las columnas y
los renglones de la matriz, como se ilustra en la figura 10.3. La descomposición de Crout
se puede implementar mediante la siguiente serie concisa de fórmulas:

l , = a , i 1 para i = 1, 2, …, n (10.17)
i 1
b) a
u 1j = j 1 para j = 2, 3,…, n (10.18)
l
11
Para j = 2, 3, …, n – 1
j−1
c) ij ∑
l = a – lu para i = j, j + 1, …, n (10.19)
ij
ik kj
k=1
− j 1
a jk ∑ l u
ji ik
d) u = = i 1 para k = j + 1, j + 2, …, n (10.20)
jk
l
jj
y
FIGURA 10.3 n−1
nn ∑
Un esquema que muestra l nn = a – lu (10.21)
nk kn
las evaluaciones implicadas k=1
en la descomposición LU de
Crout. Además de que consiste de pocos ciclos, el método anterior también tiene la ventaja
de economizar espacio de almacenamiento. No hay necesidad de guardar los números 1

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