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10.2 LA MATRIZ INVERSA 293

10.2.1 Cálculo de la inversa

La inversa se puede calcular en forma de columna por columna, generando soluciones
con vectores unitarios como las constantes del lado derecho. Por ejemplo, si la constan-
te del lado derecho de la ecuación tienen un número 1 en la primera posición, y ceros en
las otras,

⎧ ⎫
1
⎪ ⎪
{}b = ⎨ ⎬
0
⎪ ⎪
⎩ ⎭
0
la solución resultante será la primera columna de la matriz inversa. En forma similar, si
se emplea un vector unitario que tiene un número 1 en el segundo renglón
⎧ ⎫
0
⎪ ⎪
{}b = ⎨ ⎬
1
⎪ ⎪
⎩ ⎭
0
el resultado será la segunda columna de la matriz inversa.
La mejor forma de realizar un cálculo como éste es con el algoritmo de descompo-
sición LU, descrito al inicio de este capítulo. Recuerde que una de las ventajas más im-
portantes de la descomposición LU es que proporciona un medio eficiente para evaluar
diversos vectores del lado derecho. Por lo tanto, resulta ideal para evaluar los vectores
unitarios requeridos en el cálculo de la inversa.

EJEMPLO 10.3 Inversión de matrices

Planteamiento del problema. Emplee la descomposición LU para determinar la
matriz inversa del sistema del ejemplo 10.2.

⎡ 3 −0 .1 −0 . ⎤ 2
⎢ ⎥
[]A = 01 7 −03 ⎥
.
.
⎢
.
.
⎣
⎢03 −02 10 ⎥ ⎦
Recuerde que la descomposición dio como resultado las siguientes matrices triangulares
inferior y superior:
⎡3 −0 .1 −0 .2 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ 0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
[]U = 0 7 .00333 −0 .293333 ⎥ []L = 0 .0333333 1 0 ⎥
⎢
⎢
⎣ ⎢0 0 10 .0120 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ . 0 100000 −0 .0271300 1 ⎥ ⎦
Solución. La primera columna de la matriz inversa puede determinarse al efectuar el
procedimiento de solución por sustitución hacia adelante, con un vector unitario (con

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