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296 DESCOMPOSICIÓN LU E INVERSIÓN DE MATRICES

Al tenerse una ecuación de balance para cada parte del sistema, da como resultado
un conjunto de ecuaciones que definen el comportamiento de las propiedades en todo el
sistema. Estas ecuaciones se interrelacionan, ya que cada ecuación puede tener una o
más de las variables de las otras ecuaciones. En muchos casos, estos sistemas son linea-
les y, por lo tanto, de la forma que se trata en este capítulo:
[A]{X} = {B} (10.23)

Ahora bien, para las ecuaciones de balance, los términos de la ecuación (10.23)
tienen una interpretación física definida. Por ejemplo, los elementos de {X} son los va-
lores de la propiedad que se balanceará en cada parte del sistema. En el balance de
fuerzas de una estructura, representan las fuerzas vertical y horizontal en cada miembro.
En el balance de masa, los elementos de {X} son las masas de sustancias químicas en
cada reactor. En cualquier caso, representan la respuesta o estado del sistema, que se
está tratando de determinar.
El vector del lado derecho {B} contiene los elementos del balance que son indepen-
dientes del comportamiento del sistema (es decir, son constantes). Como tales, repre-
sentan las fuerzas externas o los estímulos que rigen al sistema.
Finalmente, la matriz de coeficientes [A] contiene los parámetros que expresan cómo
interactúan las partes del sistema. En consecuencia, la ecuación (10.23) se puede expre-
sar como:
[interacciones]{respuesta} = {estímulos}

Así, la ecuación (10.23) puede verse como una expresión del modelo matemático funda-
mental que se formuló anteriormente como una sola ecuación en el capítulo 1 [recuerde
la ecuación (1.1)]. Ahora se percibe que la ecuación (10.23) representa una versión para
sistemas interrelacionados con diversas variables dependientes {X}.
Como ya hemos visto en este capítulo y en el anterior, existen varias formas de
resolver la ecuación (10.23). Sin embargo, usando la matriz inversa se obtiene un resul-
tado particularmente interesante. La solución formal se expresa como
–1
{X} = [A] {B}
o (recordando la definición de la multiplicación matricial del cuadro PT3.2)

–1
x = a 11 b + a –1 12 b + a –1 13 b 3
2
1
1
–1
x = a 21 b + a –1 22 b + a –1 23 b 3
2
2
1
–1
x = a 31 b + a –1 32 b + a –1 33 b 3
1
3
2
De esta forma, se ha encontrado que la misma matriz inversa, además de ofrecer una
solución, tiene propiedades extremadamente útiles. Es decir, cada uno de sus elementos
representa la respuesta de una sola parte del sistema a un estímulo unitario de cualquier
otra parte de dicho sistema.
Observe que estas formulaciones son lineales y, por lo tanto, se satisfacen la super-
posición y la proporcionalidad. La superposición significa que si un sistema está sujeto
a varios estímulos (las b), las respuestas se pueden calcular individualmente y los resul-
tados se suman para obtener la respuesta total. La proporcionalidad significa que al
multiplicar los estímulos por una cantidad el resultado es la respuesta a esos estímu-
–1
los multiplicada por la misma cantidad. Así, el coeficiente a es una constante de pro-
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