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10.3 ANÁLISIS DEL ERROR Y CONDICIÓN DEL SISTEMA 297

porcionalidad que da el valor de x correspondiente a una cantidad unitaria b . Este
1
1
resultado es independiente de los efectos de b y b sobre x , los cuales se reflejan en los
3
2
1
coeficientes a 12 –1 y a 13 –1 , respectivamente. Por lo tanto, se llega a la conclusión general de
–1
que el elemento a de la matriz inversa representa el valor de x debido a la cantidad uni-
i
ij
–1
taria b . Usando el ejemplo de la estructura, el elemento a de la matriz inversa represen-
j
ij
taría la fuerza en el miembro i debida a una fuerza unitaria externa en el nodo j. Incluso
para sistemas pequeños, dicho comportamiento de interacciones estímulo-respuesta indi-
viduales podría no ser intuitivamente obvio. Como tal, la matriz inversa ofrece una pode-
rosa técnica para comprender las interrelaciones entre las partes componentes de sistemas
complicados. Este poder se demostrará en las secciones 12.1 y 12.2.
10.3 ANÁLISIS DEL ERROR Y CONDICIÓN DEL SISTEMA
Además de sus aplicaciones a la ingeniería, la inversa también proporciona un medio
para determinar si los sistemas están mal condicionados. Están disponibles tres métodos
para este propósito:
1. Escalar la matriz de coefi cientes [A], de manera que el elemento más grande en cada
–1
renglón sea 1. Se invierte la matriz escalada, y si existen elementos de [A] que
sean varios órdenes de magnitud mayores que uno, es posible que el sistema esté
mal condicionado (véase el cuadro 10.1).
2. Multiplicar la inversa por la matriz de coefi cientes original y estimar si el resultado
es lo sufi cientemente cercano a la matriz identidad. Si no es así, esto indica que el
sistema está mal condicionado.

Cuadro 10.1 Interpretación de los elementos de la matriz inversa
como una medida de mal condicionamiento

Un método para determinar la condición de un sistema consiste Restando la ecuación (C10.1.2) de (C10.1.1) resulta
en escalar [A] de tal forma que el elemento mayor en cada renglón
–1
–1
sea 1 y después calcular [A] . Si los elementos de [A] son ~
varios órdenes de magnitud mayores que los elementos de la {R} = [A]{ {X} – {X} }
matriz escalada original, es probable que el sistema esté mal –1
Multiplicando ambos lados de esta ecuación por [A] se obtiene
condicionado.
~
–1
Se puede obtener cierto conocimiento con este método al {X} – {X} = [A] {R}
recordar que una forma de verificar si una solución aproximada
{X} es aceptable, es sustituyéndola en las ecuaciones originales Este resultado indica por qué la verificación de una solución por
y observar si resultan las constantes originales del lado derecho. sustitución puede ser engañosa. Para casos donde los elementos
–1
Esto equivale a de [A] son grandes, una pequeña discrepancia en el residuo {R}
~
del lado derecho, puede corresponder a un gran error {X} – {X}
~
{R} = {B} – [A]{X} (C10.1.1) en el valor calculado de las incógnitas. En otras palabras, un
residuo pequeño no garantiza una solución exacta. Aunque,
donde {R} es el residuo entre las constantes del lado derecho y
~ puede concluirse que si el elemento mayor de [A] es de un
–1
los valores calculados con la solución {X}. Si {R} es pequeño,
~ orden de magnitud unitaria, se puede considerar que el sistema
se concluye que los valores de {X} son adecuados. Suponiendo
–1
está bien condicionado. De modo contrario, si [A] contiene
que {X} es la solución exacta que da un residuo cero, entonces
elementos mucho más grandes que la unidad se concluye que el
{0} = {B} – [A]{X} (C10.1.2) sistema está mal condicionado.
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