Page 325 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

10.3 ANÁLISIS DEL ERROR Y CONDICIÓN DEL SISTEMA 301

Use la norma renglón-suma para estimar el número de condición de la matriz de Hilbert
de 3 × 3,

/ ⎤
⎡ 1 / 1 2 1 3
⎢ ⎥
[]A = 12 1 /3 1 /4 ⎥
/
⎢
/ ⎥
/
⎢13 / 1 4 1 5 ⎦
⎣
Solución. Primero, la matriz se normaliza de tal forma que el elemento máximo en
cada renglón sea 1.
/ ⎤
⎡11 /2 1 3
⎢ ⎥
[]A = 12 /3 1 /2 ⎥
⎢
/ ⎥
⎣
⎢13 /4 3 5 ⎦
Sumando cada uno de los renglones el resultado es 1.833, 2.1667 y 2.35. Entonces, el
tercer renglón tiene la suma mayor y la norma renglón-suma es

3 3
A ∞ =+1 + = 235.
4 5
La inversa de la matriz escalada se calcula como

⎡ 9 − 18 10 ⎤
⎢
[]A –1 = − 36 96 − 60 ⎥ ⎥
⎢
⎢ ⎣ 30 − 90 60 ⎥ ⎦

Observe que los elementos de esta matriz son mayores que los de la matriz original. Esto
también se refleja en su norma renglón-suma, la cual se calcula como

⏐⏐A⏐⏐ = –36 + 96 + –60 = 192
∞
Entonces, el número de condición se calcula como

Cond [A] = 2.35(192) = 451.2

El hecho de que el número de condición sea considerablemente mayor que la unidad
sugiere que el sistema está mal condicionado. La importancia del mal condicionamiento
puede ser cuantificado al calcular c = log 451.2 = 2.65. Las computadoras que usan una
representación de punto flotante IEEE tienen aproximadamente t = log 2 –24 = 7.2 dígitos
significativos en base 10 (recuerde la sección 3.4.1). Por lo tanto, la solución puede tener
–5
errores de redondeo de hasta 10 (2.65–7.2) = 3 × 10 . Observe que una estimación como
ésta casi siempre sobrepredice el error verdadero. Sin embargo, son útiles para alertar
al usuario en el caso de que los errores de redondeo puedan resultar significativos.

6/12/06 13:53:11
Chapra-10.indd 301
Chapra-10.indd 301 6/12/06 13:53:11