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302 DESCOMPOSICIÓN LU E INVERSIÓN DE MATRICES

En pocas palabras, el problema al usar la ecuación (10.26) es el precio computacio-
–1
nal requerido para obtener⏐⏐A ⏐⏐. Rice (1983) indica algunas posibles estrategias para
reducir el problema. Además, él sugiere una forma alternativa para determinar la con-
dición del sistema: ejecute la misma solución en dos diferentes compiladores. Ya que los
códigos resultantes implementan en forma diferente la aritmética, el efecto de mal con-
dicio-namiento debería ser evidente en un experimento como ése. Por último, se debe
mencionar que los paquetes de software y las bibliotecas, como MATLAB y Mathcad,
tienen la capacidad para calcular en forma conveniente la condición de una matriz.
Revisaremos estas capacidades cuando se vean esos paquetes al final del capítulo 11.

10.3.3 Refi namiento iterativo
En algunos casos, los errores de redondeo se reducen con el siguiente procedimiento.
Suponga que se está resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

a x + a x + a x = b 1
l2 2
11 1
13 3
a x + a x + a x = b 2 (10.27)
22 2
21 1
23 3
a x + a x + a x = b 3
31 1
33 3
32 2
Se limitará el siguiente análisis a un sistema pequeño de (3 × 3). Aunque, este método se
puede generalizar para aplicarlo a sistemas de ecuaciones lineales más grandes.
~ ~ ~ ~
T
Suponga que una solución aproximada en forma vectorial es {X} = ⎣x x x ⎦. Esta
1
2 3
solución se sustituye en la ecuación (10.27) para tener
~
~
~
a x + a x + a x = b ~ 1
11 1
l2 2
13 3
~
~
~
a x + a x + a x = b ~ 2 (10.28)
22 2
23 3
21 1
~
~
~
a x + a x + a x = b ~ 3
31 1
33 3
32 2
Ahora, suponga que la solución exacta {X} está expresada como una función de la solu-
ción aproximada y de un vector de factores de corrección {∆X}, donde
~
x = x + ∆x 1
1
1
~
x = x + ∆x 2 (10.29)
2
2
~
x = x + ∆x 3
3
3
Estos resultados se sustituyen en la ecuación (10.27), para obtener el siguiente sistema:
~
~
~
a (x + ∆x ) + a (x + ∆x ) + a (x + ∆x ) = b 1
1
3
l2
2
13
2
3
1
11
~ ~ ~
a 21 (x 1 + ∆x 1 ) + a 22 (x 2 + ∆x 2 ) + a 23 (x 3 + ∆x 3 ) = b 2 (10.30)
~
~
~
a (x + ∆x ) + a (x + ∆x ) + a (x + ∆x ) = b 3
3
31
33
2
32
2
1
3
1
Ahora, la ecuación (10.28) se resta de la (10.30) para dar
~
a ∆x + a ∆x + a ∆x = b – b = E 1
l2
1
2
1
1
13
11
3
~
a ∆x + a ∆x + a ∆x = b – b = E 2 (10.31)
2
1
2
21
22
2
3
23
~
a ∆x + a ∆x + a ∆x = b – b = E 3
32
2
31
1
3
3
33
3
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