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300 DESCOMPOSICIÓN LU E INVERSIÓN DE MATRICES

Es decir, el elemento con el mayor valor absoluto se toma como la medida del tamaño
del vector. En forma similar, una norma matricial uniforme o norma renglón-suma se
define como
n
A ∞ = máx ∑ a ij (10.25)
in
1 ≤≤
j=1
En este caso, se calcula la suma del valor absoluto de los elementos por cada renglón, y
la mayor de éstas se toma como la norma.
Aunque hay ventajas teóricas para el uso de ciertas normas, la elección algunas
veces está influenciada por consideraciones prácticas. Por ejemplo, la norma renglón-
uniforme es ampliamente usada por la facilidad con que se calcula, y por el hecho de
que usualmente proporciona una medida adecuada del tamaño de la matriz.

10.3.2 Número de condición de una matriz

Ahora que se ha presentado el concepto de norma, se puede usar para definir
Cond [A] =⏐⏐A⏐⏐ ·⏐⏐A ⏐⏐ (10.26)
–1
donde Cond [A] se llama número de condición de una matriz. Observe que para una
matriz [A], este número será mayor o igual a 1. Se puede mostrar (Ralston y Rabinowitz,
1978; Gerald y Wheatley, 1989) que

∆X ∆A
≤ Cond [ A]
X A

Es decir, el error relativo de la norma de la solución calculada puede ser tan grande como
el error relativo de la norma de los coeficientes de [A], multiplicada por el número de
condición. Por ejemplo, si los coeficientes de [A] se encuentran a t dígitos de precisión
–t
c
(esto es, los errores de redondeo son del orden de 10 ) y Cond [A] = 10 , la solución [X]
c–t
puede ser válida sólo para t – c dígitos (errores de redondeo ~ 10 ).
EJEMPLO 10.4 Evaluación de la condición de una matriz

Planteamiento del problema. La matriz de Hilbert, que es notoriamente mal condi-
cionada, se representa como

⎡ 1 1 2/ 1 3/ 1/n ⎤
⎢ 1/(n + ⎥
⎢ 12/ 1 3/ 1 4/ 1) ⎥
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ ⎥
⎣ 1/n 1/(n + 1) 1/(n + 2) 1 2/( n ) ⎦

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