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338 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

y
2
dx 3
–(
m 3 = mg k x – x ) (12.18)
2
3
3
dt 2
Las ecuaciones (12.16), (12.17) y (12.18) forman un sistema de tres ecuaciones dife-
renciales con tres incógnitas. Con las condiciones iniciales apropiadas, estas ecuaciones
sirven para calcular los desplazamientos de las masas como una función del tiempo (es
decir, sus oscilaciones). En la parte siete estudiaremos los métodos numéricos para ob-
tener tales soluciones. Por ahora, podemos obtener los desplazamientos que ocurren cuan-
do el sistema eventualmente llega al reposo, es decir, al estado estacionario. Para esto se
igualan a cero las derivadas en las ecuaciones (12.16), (12.17) y (12.18), obteniéndose
– 2kx = m g
3kx 1 2 1
–2kx 1 + 3kx – kx = m g
2
2
3
– kx 2 + kx 3 = m g
3
o, en forma matricial,
[K]{X} = {W}
donde [K], conocida como matriz de rigidez, es
3k –2k
[K] = –2k 3k –k
–k k

y {X} y {W} son los vectores columna de las incógnitas X y de los pesos mg, respecti-
vamente.
Solución. Aquí se emplean métodos numéricos para obtener una solución. Si m = 2
1
2
kg, m = 3 kg, m = 2.5 kg, y todas las k = 10 kg/s , use la descomposición LU con el
3
2
propósito de obtener los desplazamientos y generar la inversa de [K].
Sustituyendo los parámetros del modelo se obtiene
30 –20 19.6
[K] = –20 30 –10 {W} = 29.4
–10 10 24.5

La descomposición LU se utiliza con el objetivo de obtener x = 7.35, x = 10.045 y x =
3
1
2
12.495. Estos desplazamientos se utilizaron para construir la figura 12.11b. La inversa
de la matriz de rigidez calculada es
0.1 0.1 0.1
–1
[K] = 0.1 0.15 0.15
0.1 0.15 0.25
–1
Cada elemento de la matriz k ji nos indica el desplazamiento de la masa i debido a
una fuerza unitaria impuesta sobre la masa j. Así, los valores 0.1 en la columna 1 nos
indican que una carga unitaria hacia abajo en la primera masa desplazará todas las ma-
sas 0.1 m hacia abajo. Los otros elementos se interpretan en forma similar. Por lo tanto,
la inversa de la matriz de rigidez proporciona una síntesis de cómo los componentes del
sistema responden a fuerzas que se aplican en forma externa.

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