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14 MODELOS MATEMÁTICOS Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN INGENIERÍA

Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa la segunda ley de
Newton para expresar la fuerza debida a la gravedad como
= mg (1.6)
F D
donde g es la constante gravitacional, o la aceleración debida a la gravedad, que es
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aproximadamente igual a 9.8 m/s .
La resistencia del aire puede expresarse de varias maneras. Una forma sencilla
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consiste en suponer que es linealmente proporcional a la velocidad, y que actúa en di-
rección hacia arriba tal como
F = –cv (1.7)
U
donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o
arrastre (kg/s). Así, cuanto mayor sea la velocidad de caída, mayor será la fuerza hacia
arriba debida a la resistencia del aire. El parámetro c toma en cuenta las propiedades del
objeto que cae, tales como su forma o la aspereza de su superficie, que afectan la resis-
tencia del aire. En este caso, c podría ser función del tipo de traje o de la orientación
usada por el paracaidista durante la caída libre.
La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia
arriba. Por lo tanto, combinando las ecuaciones (1.4) a (1.7), se obtiene
dv mg cv–
=
dt m (1.8)

o simplificando el lado derecho de la igualdad,
dv c
= g – v
dt m (1.9)
La ecuación (1.9) es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con
las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial porque está escrita
en términos de la razón de cambio diferencial (dv/dt) de la variable que nos interesa
predecir. Sin embargo, en contraste con la solución de la segunda ley de Newton en la
ecuación (1.3), la solución exacta de la ecuación (1.9) para la velocidad del paracaidista
que cae no puede obtenerse mediante simples manipulaciones algebraicas. Siendo ne-
cesario emplear técnicas más avanzadas, del cálculo, para obtener una solución exacta
o analítica. Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista está en reposo (v = 0 en t = 0),
se utiliza el cálculo integral para resolver la ecuación (1.9), así
v()t = gm ( – e1 –( / )cm t )
c (1.10)
Note que la ecuación (1.10) es un ejemplo de la forma general de la ecuación (1.1), don-
de v(t) es la variable dependiente, t es la variable independiente, c y m son parámetros,
y g es la función de fuerza.

1 De hecho, la relación es realmente no lineal y podría ser representada mejor por una relación con potencias
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como F U = –cv . Al fi nal de este capítulo, investigaremos, en un ejercicio, de qué manera infl uyen estas no
linealidades en el modelo.

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