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1.1 UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE 15

EJEMPLO 1.1 Solución analítica del problema del paracaidista que cae
Planteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un
globo aerostático fijo. Aplique la ecuación (1.10) para calcular la velocidad antes de que
se abra el paracaídas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a 12.5 kg/s.

Solución. Al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (1.10) se obtiene
v()t = 9 .(8 68 . )1 (– e1 –( . /12 5 68 . )t1 ) = 53 . (– e39 1 – .0 18355 t )
12 .5
que sirve para calcular la velocidad del paracaidista a diferentes tiempos, tabulando se
tiene

t, s v, m/s
0 0.00
2 16.40
4 27.77
6 35.64
8 41.10
10 44.87
12 47.49
• 53.39

De acuerdo con el modelo, el paracaidista acelera rápidamente (figura 1.3). Se alcanza
una velocidad de 44.87 m/s (100.4 mi/h) después de 10 s. Observe también que, después
de un tiempo suficientemente grande, alcanza una velocidad constante llamada velocidad
terminal o velocidad límite de 53.39 m/s (119.4 mi/h). Esta velocidad es constante por-
que después de un tiempo la fuerza de gravedad estará en equilibrio con la resistencia
del aire. Entonces, la fuerza total es cero y cesa la aceleración.

A la ecuación (1.10) se le llama solución analítica o exacta ya que satisface con
exactitud la ecuación diferencial original. Por desgracia, hay muchos modelos matemá-
ticos que no pueden resolverse con exactitud. En muchos de estos casos, la única alter-
nativa consiste en desarrollar una solución numérica que se aproxime a la solución
exacta.
Como ya se mencionó, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula
el problema matemático para lograr resolverlo mediante operaciones aritméticas. Esto
puede ilustrarse para el caso de la segunda ley de Newton, observando que a la razón
de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar mediante (figu-
ra 1.4):

dv ∆ v v( t ) – v( t )
≅ = i+1 i (1.11)
dt t ∆ t t –
i+1 i
donde ∆v y ∆t son diferencias en la velocidad y en el tiempo, respectivamente, calculadas
sobre intervalos finitos, v(t ) es la velocidad en el tiempo inicial t , y v(t ) es la veloci-
i
i
i+1

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