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1.1 UN MODELO MATEMÁTICO SIMPLE 17

A la ecuación (1.11) se le denomina una aproximación en diferencia finita dividida
de la derivada en el tiempo t . Sustituyendo en la ecuación (1.9), tenemos
i
v(t ) – v( )t c
i+1 i = g – v( )t
t – t m i
i+1 i
Esta ecuación se reordena para obtener

v(t ) = v( )t + ⎡ g – c v( ) (t ⎤ t – )t (1.12)
i+1 i ⎢ ⎣ m i ⎥ ⎦ i+1 i

Note que el término entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuación diferen-
cial [ecuación (1.9)]. Es decir, este término nos da un medio para calcular la razón de
cambio o la pendiente de v. Así, la ecuación diferencial se ha transformado en una ecua-
ción que puede utilizarse para determinar algebraicamente la velocidad en t , usando
i+1
la pendiente y los valores anteriores de v y t. Si se da un valor inicial para la velocidad
en algún tiempo t , es posible calcular con facilidad la velocidad en un tiempo posterior
i
t i+1 . Este nuevo valor de la velocidad en t i+1 sirve para calcular la velocidad en t i+2 y así
sucesivamente. Es decir, a cualquier tiempo,

valor nuevo = valor anterior + pendiente × tamaño del paso

Observe que esta aproximación formalmente se conoce como método de Euler.

EJEMPLO 1.2 Solución numérica al problema de la caída de un paracaidista

Planteamiento del problema. Realice el mismo cálculo que en el ejemplo 1.1, pero
usando la ecuación (1.12) para obtener la velocidad. Emplee un tamaño de paso de 2 s
para el cálculo.

Solución. Al empezar con los cálculos (t = 0), la velocidad del paracaidista es igual
i
a cero. Con esta información y los valores de los parámetros del ejemplo 1.1, se utiliza
la ecuación (1.12) para calcular la velocidad en t = 2 s:
i+l
⎡ 12 5. ⎤
0 2
v =+0 ⎢ ⎣ 9 8.– 68 1. () ⎥ ⎦ = 19 60. m/s

Para el siguiente intervalo (de t = 2 a 4 s), se repite el cálculo y se obtiene

⎡ 12 5. ⎤
19 60 2)
v = 19 60. + 9 8. – 68 1. (. ⎥ ⎦ = 32 00. m/s
⎢
⎣
Se continúa con los cálculos de manera similar para obtener los valores siguientes:

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