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364 OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

Como en la localización de raíces, los problemas de optimización unidimensionales
se pueden dividir en métodos cerrados y métodos abiertos. Como se describirá en la
próxima sección, la búsqueda por sección dorada es un ejemplo de un método cerrado
que depende de los valores iniciales que encierran un solo valor óptimo. Éste es seguido
por un procedimiento cerrado algo más sofisticado (la interpolación cuadrática).
El método final descrito en este capítulo es un método abierto que está basado en
la idea del cálculo para encontrar el mínimo o máximo al resolver ƒ′(x) = 0. Esto reduce
el problema de optimización al encontrar la raíz de ƒ′(x) mediante las técnicas que se
describen en la parte dos. Se mostrará una versión del método de Newton.

13.1 BÚSQUEDA DE LA SECCIÓN DORADA

En la búsqueda de la raíz de una ecuación no lineal, el objetivo era encontrar el valor de x
que diera cero al sustituir en la función f(x). La optimización en una sola variable tiene como
objetivo encontrar el valor de x que da un extremo, ya sea un máximo o un mínimo de f(x).
La búsqueda de la sección dorada es una técnica, de búsqueda para una sola varia-
ble, sencilla y de propósito general. Es igual en esencia al método de la bisección para
localizar raíces (capítulo 5). Recuerde que la bisección depende de la definición de un
intervalo, especificado por los valores iniciales inferior (x ) y superior (x ), que encierran
u
l
una sola raíz. La presencia de una raíz entre estos límites se verificó determinando que
f(x ) y f(x ) tuvieran signos diferentes. La raíz se estima entonces como el punto medio
u
l
de este intervalo,
x + x
x = l u
r
2
Cualquier paso en una iteración por bisección permite determinar un intervalo más
pequeño. Esto se logra al reemplazar cualquiera de los límites, x o x , que tuvieran un
u
l
valor de la función con el mismo signo que f(x ). Un efecto útil de este método es que el
r
nuevo valor x reemplazará a uno de los límites anteriores.
r
Es posible desarrollar un procedimiento similar para localizar el valor óptimo de
una función unidimensional. Por simplicidad, nos concentraremos en el problema
de encontrar un máximo. Cuando se analice el algoritmo de cómputo, se describirán las
pequeñas modificaciones necesarias para determinar un mínimo.
Como en el método de la bisección, se puede comenzar por definir un intervalo que
contenga una sola respuesta. Es decir, el intervalo deberá contener un solo máximo, y
por esto se llama unimodal. Podemos adoptar la misma nomenclatura que para la bisec-
ción, donde x y x definen los límites inferior y superior, respectivamente, del intervalo.
l
u
Sin embargo, a diferencia de la bisección se necesita una nueva estrategia para encontrar
un máximo dentro del intervalo. En vez de usar solamente dos valores de la función (los
cuales son suficientes para detectar un cambio de signo y, por lo tanto, un cero), se ne-
cesitarán tres valores de la función para detectar si hay un máximo. Así, hay que escoger
un punto más dentro del intervalo. Después, hay que tomar un cuarto punto. La prueba
para el máximo podrá aplicarse para determinar si el máximo se encuentra dentro de
los primeros tres o de los últimos tres puntos.
La clave para hacer eficiente este procedimiento es la adecuada elección de los pun-
tos intermedios. Como en la bisección, la meta es minimizar las evaluaciones de la

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