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13.1 BÚSQUEDA DE LA SECCIÓN DORADA 369

Observe que el máximo está resaltado en cada iteración. Después de ocho iteracio-
nes, el máximo se encuentra en x = 1.4427 con un valor de la función 1.7755. Así, el
resultado converge al valor verdadero, 1.7757, en x = 1.4276.

Recuerde que en la bisección (sección 5.2.1), se puede calcular un límite superior
exacto para el error en cada iteración. Usando un razonamiento similar, un límite supe-
rior para la búsqueda de la sección dorada se obtiene como sigue. Una vez que se termi-
na una iteración, el valor óptimo estará en uno de los dos intervalos. Si x es el valor
2
óptimo de la función, estará en el intervalo inferior (x , x , x ). Si x es el valor óptimo
1
l
2
1
de la función, estará en el intervalo superior (x , x , x ). Debido a que los puntos interio-
u
2
1
res son simétricos, se utiliza cualquiera de los casos para definir el error.
Observando el intervalo superior, si el valor verdadero estuviera en el extremo iz-
quierdo, la máxima distancia al valor estimado sería
∆x = x – x 2
a
l
= x + R(x – x ) – x + R(x – x )
u
u
l
l
u
l
= (x – x ) + 2R(x – x )
l
u
l
u
= (2R – 1)(x – x )
l
u
o 0.236(x – x )
u
l
Si el valor verdadero estuviera en el extremo derecho, la máxima distancia al valor
estimado sería
u
∆x = x – x 1
b
= x – x – R(x – x )
l
u
l
u
= (1 – R)(x – x )
l
u
o 0.382(x – x ). Por lo tanto, este caso podría representar el error máximo. Este resulta-
l
u
do después se normaliza al valor óptimo de esa iteración, x , para dar
ópt
x − x
ε = (1 − R) u l 100 %
a
x
ópt
Esta estimación proporciona una base para terminar las iteraciones.
En la figura 13.5a se presenta el seudocódigo del algoritmo para la búsqueda de la
sección dorada en la maximización. En la figura 13.5b se muestran las pequeñas modi-
ficaciones para convertir el algoritmo en una minimización. En ambas versiones el valor
x para el óptimo se regresa como el valor de la función (dorado). Además, el valor de
f(x) óptimo se regresa como la variable f(x).
Usted se preguntará por qué hemos hecho énfasis en reducir las evaluaciones de la
función para la búsqueda de la sección dorada. Por supuesto, para resolver una sola
optimización, la velocidad ahorrada podría ser insignificante. Sin embargo, existen dos
importantes casos donde minimizar el número de evaluaciones de la función llega a
ser importante. Éstos son:
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