Page 390 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

366 OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

Cuadro 13.1 La razón dorada y los números de Fibonacci

En muchas culturas, a ciertos números se les otorgan algunas
cualidades. Por ejemplo, en Occidente se suele decir “el 7 de la
suerte” y “el funesto viernes 13”. Los antiguos griegos llamaron
al siguiente número la “razón dorada” o áurea:
51−
= 0 61803. ...
2
Esta razón fue empleada con un gran número de propósitos, in-
cluyendo el desarrollo del rectángulo de la figura 13.3. Tales
proporciones fueron consideradas por los griegos como estética-
mente agradables. Entre otras cosas, muchos de los templos si-
guieron esta forma.
La razón dorada se relaciona con una importante sucesión
matemática conocida como los números de Fibonacci, que son 0.61803
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... 1
Cada número después de los dos primeros representa la suma
de los dos precedentes. Esta secuencia aparece en diversas áreas
de la ciencia y la ingeniería. En el contexto del presente análisis,
una interesante propiedad de la sucesión de Fibonacci relaciona FIGURA 13.3
la razón entre números consecutivos de la serie; es decir, 0/1 = El Partenón de Atenas, Grecia, fue construido en el siglo V
0, 1/1 = 1, 1/2 = 0.5, 2/3 = 0.667, 3/5 = 0.6, 5/8 = 0.625, 8/13 = antes de Cristo. Sus dimensiones frontales se ajustan casi
0.615, y así sucesivamente. La razón entre números consecutivos exactamente a un rectángulo dorado.
se va aproximando a la razón dorada.

elemento clave del método de la sección dorada que hemos estado desarrollando. Ahora
construyamos un algoritmo para implementar este procedimiento en la computadora.
Como se mencionó antes y se ilustra en la figura 13.4, el método comienza con dos
valores iniciales, x y x , que contienen un extremo local de f(x). Después, se eligen
l
u
dos puntos interiores x y x de acuerdo con la razón dorada,
2
1
−
d = 51 ( x − x )
2 u l
x 1 = x l + d
x = x – d
2
u
La función se evalúa en estos dos puntos interiores. Dos casos pueden presentarse:

1. Si, como es el caso en la figura 13.4, f(x ) > f(x ), entonces el dominio de x a la iz-
1
2
quierda de x , de x a x , se puede eliminar, ya que no contiene el máximo. En este
2
l
2
caso, x será el nuevo x en la siguiente vuelta.
l
2
2. Si f(x ) > f(x ), entonces el dominio de x a la derecha de x , de x a x podrá elimi-
2
1
1
1
u
narse. En este caso, x será el nuevo x en la siguiente iteración.
1
u
6/12/06 13:55:06
Chapra-13.indd 366
Chapra-13.indd 366 6/12/06 13:55:06