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368 OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

EJEMPLO 13.1 Búsqueda de la sección dorada

Planteamiento del problema. Use la búsqueda de la sección dorada para encontrar
el máximo de
x 2
fx() = 2 sen x –
10
dentro del intervalo x = 0 y x = 4.
u
l
Solución. Primero, se utiliza la razón dorada para crear los dos puntos interiores
−
d = 51 4 ( − 0) = 2 472.
2
x = 0 + 2.472 = 2.472
1
x = 4 – 2.472 = 1.528
2
Se evalúa la función en los puntos interiores

fx() = f ( .1 528 = sen ( .1 528 − . 1 528 2 = . 1 765
)
2
)
2
10
f (x ) = f (2.472) = 0.63
1
Debido a que f(x ) > f(x ), el máximo está en el intervalo definido por x , x y x .
1
2
l
2
1
Así, para el nuevo intervalo, el límite inferior sigue siendo x l = 0, y x 1 será el límite su-
perior; esto es, x u = 2.472. Además, el primer valor x 2 pasa a ser el nuevo x 1 ; es decir,
x 1 = 1.528. Asimismo, no se tiene que recalcular f(x 1 ) ya que se determinó en la iteración
previa como f(1.528) = 1.765.
Todo lo que falta es calcular la nueva razón dorada y x 2 ,
−
51
d = (. − 0) = 1 528.
2 472
2
x = 2.4721 – 1.528 = 0.944
2
La evaluación de la función en x es f(0.994) = 1.531. Como este valor es menor que
2
el valor de la función en x , el máximo está en el intervalo dado por x , x y x .
1
u
1
2
Si el proceso se repite, se obtienen los resultados tabulados a continuación:
i x l f(x l ) x 2 f(x 2 ) x 1 f(x 1 ) x u f(x u ) d
1 0 0 1.5279 1.7647 2.4721 0.6300 4.0000 –3.1136 2.4721
2 0 0 0.9443 1.5310 1.5279 1.7647 2.4721 0.6300 1.5279
3 0.9443 1.5310 1.5279 1.7647 1.8885 1.5432 2.4721 0.6300 0.9443
4 0.9443 1.5310 1.3050 1.7595 1.5279 1.7647 1.8885 1.5432 0.5836
5 1.3050 1.7595 1.5279 1.7647 1.6656 1.7136 1.8885 1.5432 0.3607
6 1.3050 1.7595 1.4427 1.7755 1.5279 1.7647 1.6656 1.7136 0.2229
7 1.3050 1.7595 1.3901 1.7742 1.4427 1.7755 1.5279 1.7647 0.1378
8 1.3901 1.7742 1.4427 1.7755 1.4752 1.7732 1.5279 1.7647 0.0851

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