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13.2 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA 371

Aproximación
cuadrática del
Máximo real máximo
f (x)
Función real Función
cuadrática

x 0 x 1 x 3 x 2 x

FIGURA 13.6
Descripción gráfi ca de la interpolación cuadrática.

2. Evaluaciones que toman mucho tiempo. Por razones didácticas, se usan funciones
simples en la mayoría de nuestros ejemplos. Usted deberá tener en cuenta que una
función puede ser muy compleja y consumir mucho tiempo en su evaluación. Por
ejemplo, en una parte posterior de este libro, se describirá cómo se utiliza la opti-
mización para estimar los parámetros de un modelo que consiste de un sistema de
ecuaciones diferenciales. En tales casos, la “función” comprende la integración del
modelo que tomarían mucho tiempo. Cualquier método que minimice tales evalua-
ciones resultará provechoso.

13.2 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

La interpolación cuadrática aprovecha la ventaja de que un polinomio de segundo grado
con frecuencia proporciona una buena aproximación a la forma de f(x) en las cercanías
de un valor óptimo (figura 13.6).
Así como existe sólo una línea recta que pasa por dos puntos, hay únicamente una
ecuación cuadrática o parábola que pasa por tres puntos. De esta forma, si se tiene tres
puntos que contienen un punto óptimo, se ajusta una parábola a los puntos. Después se
puede derivar e igualar el resultado a cero, y así obtener una estimación de la x óptima.
Es posible demostrar mediante algunas operaciones algebraicas que el resultado es

2
2
2
2
2
2
fx ( )( x − x ) + fx ( )( x − x ) + fx ( )( x − x )
x = 0 1 2 1 2 0 2 0 1 (13.7)
3
2 fx ()( x − x +) 2 fx ( )( x − x +) 2 fx ()( x − x )
0 1 2 1 2 0 2 0 1
donde x , x y x son los valores iniciales, y x es el valor de x que corresponde al valor
3
2
1
0
máximo del ajuste cuadrático para los valores iniciales.
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