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13.3 MÉTODO DE NEWTON 373

Así, con cinco iteraciones, el resultado converge rápidamente al valor verdadero: 1.7757
en x = 1.4276.

Debemos mencionar que como en el método de la falsa posición, en la interpolación
cuadrática puede ocurrir que sólo se retenga un extremo del intervalo. Así, la conver-
gencia puede ser lenta. Como prueba de lo anterior, observe que en nuestro ejemplo,
1.0000 fue un punto extremo en la mayoría de las iteraciones.
Este método, así como otros que usan polinomios de tercer grado, se pueden formu-
lar como parte de los algoritmos que contienen tanto pruebas de convergencia, como
cuidadosas estrategias de selección para los puntos que habrán de retenerse en cada
iteración y formas para minimizar la acumulación del error de redondeo. En particular,
consulte el método de Brent en Press y colaboradores (1992).

13.3 MÉTODO DE NEWTON

Recuerde que el método de Newton-Raphson del capítulo 6 es un método abierto que
permite encontrar la raíz x de una función de tal manera que f(x) = 0. El método se re-
sume como

i
x i + 1 = x − fx ()
i
fx
′()
i
Se utiliza un método abierto similar para encontrar un valor óptimo de f(x) al defi-
nir una nueva función, g(x) = ƒ′(x). Así, como el mismo valor óptimo x* satisface ambas
funciones
ƒ′(x*) = g(x*) = 0
se emplea lo siguiente

′()
x = x − fx i (13.8)
i + 1 i
x
f ′′()
i
como una técnica para encontrar el mínimo o máximo de f(x). Se deberá observar que
esta ecuación también se obtiene escribiendo una serie de Taylor de segundo orden para
f(x) e igualando la derivada de la serie a cero. El método de Newton es abierto y similar
al de Newton-Raphson, pues no requiere de valores iniciales que contengan al óptimo.
Además, también tiene la desventaja de que llega a ser divergente. Por último, usualmen-
te es una buena idea verificar que la segunda derivada tenga el signo correcto para
confirmar que la técnica converge al resultado deseado.

EJEMPLO 13.3 Método de Newton

Planteamiento del problema. Con el método de Newton encuentre el máximo de

fx() = 2 sen x − x 2
10

con un valor inicial de x = 2.5.
0

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