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372 OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

EJEMPLO 13.2 Interpolación cuadrática

Planteamiento del problema. Use la interpolación cuadrática para aproximar el
máximo de

fx() = 2 sen x − x 2
10
con los valores iniciales x = 0, x = 1 y x = 4.
0
1
2
Solución. Se evalúa la función en los tres valores iniciales,
x = 0 f(x ) = 0
0
0
x = 1 f(x ) = 1.5829
1
1
x = 4 f(x ) = –3.1136
2
2
y sustituyendo en la ecuación (13.7) se obtiene,
2
2
2
x = 0 1 −( 2 4 ) + 1 5829 4 −. ( 2 0 ) + −( 3 1136 0 −. )( 2 1 ) = 1 5055.
3 + +
2 0 1 4−()( ) 2 1 5829 4 0−( . )( ) 2 3 1136 0 1−( . )( − )
para la cual el valor de la función es f(1.5055) = 1.7691.
Después, se emplea una estrategia similar a la de la búsqueda de la sección dorada
para determinar qué punto se descartará. Ya que el valor de la función en el nuevo pun-
to es mayor que en el punto intermedio (x ) y el nuevo valor de x está a la derecha del
1
punto intermedio, se descarta el valor inicial inferior (x ). Por lo tanto, para la próxima
0
iteración,
x = 1 f(x ) = 1.5829
0
0
x = 1.5055 f(x ) = 1.7691
1
1
x = 4 f(x ) = –3.1136
2
2
los valores se sustituyen en la ecuación (13.7) para obtener
2
2
x = 1 5829 1 5055 −. ( . 2 4 ) + 1 7691 4 −. ( 2 1 + −) ( 3 1136 1 −. )( 2 1 5055. 2 )
3
2 1 5829 1 5055 4−(. )( . ) + 2 1 7691 4 1−(. )( ) + 2 3 1136 1 1 5055−( . )( – . )
= 1.4903
para el cual el valor de la función es f(1.4903) = 1.7714.
El proceso se puede repetir, dando los resultados tabulados abajo:

i x 0 f(x 0 ) x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) x 3 f(x 3 )
1 0.0000 0.0000 1.0000 1.5829 4.0000 –3.1136 1.5055 1.7691
2 1.0000 1.5829 1.5055 1.7691 4.0000 –3.1136 1.4903 1.7714
3 1.0000 1.5829 1.4903 1.7714 1.5055 1.7691 1.4256 1.7757
4 1.0000 1.5829 1.4256 1.7757 1.4903 1.7714 1.4266 1.7757
5 1.4256 1.7757 1.4266 1.7757 1.4903 1.7714 1.4275 1.7757

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