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PROBLEMAS 375

Esto concluye nuestro tratamiento de los métodos para encontrar el valor óptimo de
funciones en una sola variable. Algunos ejemplos de la ingeniería se presentan en el
capítulo 16. Por otra parte, las técnicas descritas aquí son un importante elemento
de algunos procedimientos para optimizar funciones multivariables, como se verá
en el siguiente capítulo.

PROBLEMAS

13.1 Dada la fórmula 13.8 Considere la función siguiente:
2
f(x) = –x + 8x – 12 f(x) = –x – 2x – 8x – 5x
2
3
4
a) Determine en forma analítica (esto es, por medio de deriva- Use los métodos analítico y gráfico para demostrar que la función
ción) el valor máximo y el correspondiente de x para esta tiene un máximo para algún valor de x en el rango –2 ≤ x ≤ 1.
función. 13.9 Emplee los métodos siguientes para encontrar el máximo
b) Verifique que la ecuación (13.7) produce los mismos resul- de la función del problema 13.8:
tados con base en los valores iniciales de x 0 = 0, x 1 = 2 y a) Búsqueda de la sección dorada (x l = –2, x u = 1, e s = 1%).
x 2 = 6. b) Interpolación cuadrática (x 0 = –2, x 1 = –1, x 2 = 1, iteraciones
= 4).
13.2 Dada la función
c) Método de Newton (x 0 = –1, e s = 1%).
6
4
f(x) = –1.5x – 2x + 12x 13.10 Considere la función siguiente:
a) Grafique la función. fx() = 2 x + 3
b) Utilice métodos analíticos para probar que la función es x
cóncava para todos los valores de x. Ejecute 10 iteraciones de interpolación cuadrática para localizar
c) Derive la función y después use algún método de localiza- el mínimo. Haga comentarios acerca de la convergencia de sus
ción de raíces para resolver cuál es el máximo f(x) y el valor resultados. (x 0 = 0.1, x 1 = 0.5, x 2 = 5).
correspondiente de x. 13.11 Considere la función que sigue:
13.3 Encuentre el valor de x que maximiza f(x) en el problema f(x) = 3 + 6x + 5x + 3x + 4x 4
2
3
13.2 con el uso de la búsqueda de la sección dorada. Emplee
valores iniciales de x l = 0 y x u = 2 y realice tres iteraciones. Localice el mínimo por medio de encontrar la raíz de la derivada
13.4 Repita el problema 13.3, pero utilice interpolación cuadrá- de dicha función. Utilice el método de bisección con valores
tica. Emplee valores iniciales de x 0 = 0, x 1 = 1 y x 2 = 2 y ejecute iniciales de x l = –2 y x u = 1.
tres iteraciones. 13.12 Determine el mínimo de la función del problema 13.11
13.5 Repita el problema 13.3 pero use el método de Newton. con los métodos siguientes:
Utilice un valor inicial de x 0 = 2 y lleve a cabo tres iteraciones. a) Método de Newton (x 0 = –1, e s = 1%).
13.6 Analice las ventajas y desventajas de la búsqueda de la b) Método de Newton, pero con el uso de una aproximación en
sección dorada, interpolación cuadrática y el método de Newton, diferencias finitas para las estimaciones de las derivadas:
para localizar un valor óptimo en una dimensión. fx ( + x ) − fx ( − x )
δ
δ
13.7 Emplee los métodos siguientes para encontrar el máximo ′ fx () = i i i i
i
de δ 2 x i
δ
δ
− fx ( )
i
i
x
2
3
4
f(x) = 4x – 1.8x + 1.2x – 0.3x ′′ f () = fx ( i + x ) 2 δ x 2 i i − f x ( i − x )
i
a) Búsqueda de la sección dorada (x l = –2, x u = 4, e s = 1%). donde d = fracción de perturbación (= 0.01). Use un valor inicial
b) Interpolación cuadrática (x 0 = 1.75, x 1 = 2, x 2 = 2.5, itera- de x 0 = –1 y haga iteraciones hasta que e s = 1%.
ciones = 4). 13.13 Desarrolle un programa con el empleo de un lenguaje de
c) Método de Newton (x 0 = 3, e s = 1%). programación o de macros, para implantar el algoritmo de la
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