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14.2 MÉTODOS CON GRADIENTE 385

las cuales se usan para determinar el gradiente como

∇f = 4i + 8j

Este vector puede bosquejarse en un mapa topográfico de la función, como en la figura
14.7. Esto inmediatamente nos indica que la dirección que debe tomarse es

⎛ ⎞ 8
–1
θ = tan = 1 107. radianes (= 63.4 °)
⎝ ⎠ 4
respecto al eje x. La pendiente en esta dirección, que es la magnitud de ∇f, se calcula así

4 + 8 = 8 944.
2
2
Así, durante el primer paso, inicialmente se ha ganado 8.944 unidades de aumento de
elevación por unidad de distancia recorrida a lo largo de esta trayectoria con la mayor
pendiente. Observe que la ecuación (14.1) da el mismo resultado,

g′(0) = 4 cos(1.107) + 8 sen(1.107) = 8.944
Observe que para cualquier otra dirección, digamos q = 1.107/2 = 0.5235, g′(0) = 4 cos
(0.5235) + 8 sen (0.5235) = 7.608, que es menor.
Conforme se mueve hacia adelante, cambiarán tanto la dirección como la magnitud
de la trayectoria de mayor pendiente. Estos cambios se pueden cuantificar a cada paso
mediante el gradiente y la dirección del ascenso se modificará de acuerdo con ello.

FIGURA 14.7
La fl echa sigue la dirección del ascenso de mayor pendiente calculado con el gradiente.

y
4
8 24 40

3

2

1

0
0 1 2 3 4 x

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