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PT5.2 ANTECEDENTES MATEMÁTICOS 459

Cuadro PT5.1 Un poco de estadística

La mayoría de los ingenieros toman varios cursos de estadística. Existe un teorema muy importante conocido como el teorema
Como usted tal vez aún no ha tomado alguno se mencionarán del límite central que responde en forma directa a esta pregunta
algunas nociones que harán que esta sección sea más coherente. y se enuncia como sigue
Como se ha mencionado, el “juego” de la estadística infe-
Sea y 1 , y 2 , …, y n , una muestra aleatoria de tamaño n tomada
rencial supone que la variable aleatoria que usted muestrea, y, de una distribución con media m y varianza s . Entonces, para
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tiene media (m) y varianza (s ) verdaderas. Además, en este –
n grandes, y es aproximadamente normal con la media m y la
análisis se supondrá que tiene una distribución particular: la
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varianza s /n. Además, para n grande, la variable aleatoria
distribución normal. La varianza de esta distribución normal tiene (– )/( /y µσ ) n es aproximadamente normal estándar.
un valor fi nito que especifi ca la “dispersión” de la distribución
normal. Si la varianza es grande, la distribución es amplia. En Así, el teorema establece el resultado interesante de que la
cambio, si la varianza es pequeña, la distribución es estrecha. distribución de las medias siempre estará normalmente distribui-
Así, la varianza real cuantifi ca la incertidumbre intrínseca de la da, ¡sin importar la distribución de las variables aleatorias de que
variable aleatoria. se trate! Esto también da el resultado esperado, de que dada una
En el juego de la estadística, se toma un número limitado de muestra sufi cientemente grande, la media de las medias deberá
mediciones de una cantidad, a la que se le llama muestra. De esta converger hacia la verdadera media de la población m.
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muestra, se calculan una media (y) y una varianza (s y ) estimadas. Además, el teorema indica que conforme crezca el tamaño de
Cuantas más mediciones se tomen, mejor serán las estimaciones la muestra, la varianza de las medias se aproximará a cero. Esto
para que se aproximen a los valores verdaderos. Esto es, cuando tiene sentido, ya que si n es pequeña, las estimaciones individuales
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n → ∞, y → m y s y → s . de la media serán pobres, y las varianzas de las medias, grandes.
Suponga que se toman n muestras y se calcula una media En tanto n aumente, la estimación de la media mejorará y, por
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estimada y 1 . Después se toman otras n muestras y se calcula otra, lo tanto, disminuirá su dispersión. El teorema del límite central
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y 2 . Se puede repetir este proceso hasta que se haya generado una claramente defi ne, en forma exacta, cómo esta disminución está
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muestra de medias: y 1 , y 2 , y 3 , …, y m , donde m es grande. Entonces relacionada tanto con la varianza real como con el tamaño de la
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se construye un histograma de estas medias y se determina una muestra; es decir, como s /n.
“distribución de las medias”, así como una “media de las me- Por último, el teorema establece el importante resultado que
dias” y una “desviación estándar de las medias”. Ahora surge la se ha dado en la ecuación (PT5.6). Como se muestra en esta
pregunta: ¿Esta nueva distribución de medias y sus estadísticos sección, este teorema es la base para construir intervalos de
se comportan en una forma predecible? confi anza para la media.
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la curva normal con respecto a y. Para evitar este dilema, se calcula una nueva cantidad,
el estimado normal estándar
y − µ
z = (PT5.6)
σ/ n

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que representa la distancia normalizada entre y y m. De acuerdo con la teoría estadísti-
ca, esta cantidad deberá estar distribuida normalmente con media 0 y varianza 1. Además,
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la probabilidad de que z esté dentro de la región no sombreada de la figura PT5.3 será
1 – a. Por lo tanto, se establece que
y – µ <− y – µ >
/ σ n z α /2 o / σ n z α /2

con una probabilidad de a.

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