Page 484 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

460 AJUSTE DE CURVAS

La cantidad z es una variable aleatoria normal estándar. Ésta es la distancia medi-
a/2
da a lo largo del eje normalizado arriba y debajo de la media, que corresponde la proba-
bilidad 1 – a (figura PT5.3b). Los valores de z están tabulados en libros de estadística
a/2
(por ejemplo, Milton y Arnold, 1995). También pueden calcularse usando funciones de
paquetes y bibliotecas de software como Excel e IMSL. Como un ejemplo, para a = 0.05
(en otras palabras, definiendo un intervalo que comprenda 95%), z a/2 es aproxima-
damente igual a 1.96. Esto significa que un intervalo alrededor de la media con un ancho
±1.96 veces la desviación estándar abarcará, en forma aproximada, el 95% de la distri-
bución.
Esos resultados se reordenan para obtener

L ≤ m ≤ U

con una probabilidad de 1 – a, donde

σ σ
y
y
L = – z α /2 U = + z α /2 (PT5.7)
n n
Ahora, aunque lo anterior ofrece una estimación de L y U, está basado en el cono-
cimiento de la verdadera varianza s. Y en nuestro caso, conocemos solamente la varian-
za estimada s . Una alternativa inmediata sería una versión de la ecuación (PT5.6)
y
basada en s :
y
y − µ
t = (PT5.8)
s / n
y

Aun cuando la muestra se tome de una distribución normal, esta fracción no estará
normalmente distribuida, en particular cuando n sea pequeña. W. S. Gossett encontró
que la variable aleatoria definida por la ecuación (PT5.8) sigue la llamada distribución
t de Student o, simplemente, distribución t. En este caso,

s y s y
y
y
L = – t α /,2 n−1 U = + t α /,2 n−1 (PT5.9)
n n
donde t a/2, n – 1 es la variable aleatoria estándar de la distribución t para una probabili-
dad de a/2. Como en el caso de z a/2 , los valores están tabulados en libros de estadísti-
ca, y también se calculan mediante paquetes y bibliotecas de software. Por ejemplo, si
a = 0.05 y n = 20, t a/2, n – 1 = 2.086.
La distribución t puede entenderse como una modificación de la distribución normal
que toma en cuenta el hecho de que se tiene una estimación imperfecta de la desviación
estándar. Cuando n es pequeña, tiende a ser más plana que la normal (figura PT5.4).
Entonces, para pocas mediciones, se obtienen intervalos de confianza más amplios y,
por lo tanto, más conservadores. Conforme n se vuelve más grande, la distribución t
converge a la normal.

6/12/06 13:57:09
Chapra-17.indd 460 6/12/06 13:57:09
Chapra-17.indd 460