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480 REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

Un tercer ejemplo de un modelo no lineal es la ecuación de razón del crecimiento
[recuerde la ecuación (E17.3.1)]
y = α 3 β 3 x + x (17.14)

donde a y b son coeficientes constantes. Este modelo particularmente es adecuado
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para caracterizar la razón de crecimiento poblacional bajo condiciones limitantes, tam-
bién representa una relación no lineal entre y y x (figura 17.9c) que se iguala o “satura”,
conforme x aumenta.
Hay técnicas de regresión no lineal disponibles para ajustar estas ecuaciones de
manera directa a datos experimentales. (Observe que analizaremos la regresión no lineal
en la sección 17.5.) Sin embargo, una alternativa simple consiste en usar manipulaciones
matemáticas para transformar las ecuaciones en una forma lineal. Después, se utiliza la
regresión lineal simple para ajustar las ecuaciones a los datos.
Por ejemplo, la ecuación (17.12) se linealiza al aplicar el logaritmo natural se obtiene

ln y = ln a + b x ln e
1
1
Pero como ln e = l,
ln y = ln a + b 1 x (17.15)
1
Así, una gráfica de ln y contra x dará una línea recta con una pendiente b 1 y una inter-
sección con el eje de las ordenadas igual a ln a 1 (figura 17.9d).
La ecuación (17.13) es linealizada al aplicar el logaritmo de base 10 se obtiene

(7.16)
log y = b 2 log x + log a 2
De este modo, una gráfica de log y contra log x dará una línea recta con pendiente b 2 e
intersección con el eje de las ordenadas log a 2 (figura 17.9e).
La ecuación (17.14) es linealizada al invertirla para dar
1 β 1 1
= 3 + (17.17)
y α x α
3 3
De esta forma, una gráfica de 1/y contra 1/x será lineal, con pendiente b /a y una in-
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tersección con el eje de las ordenadas 1/a (figura 17.9f).
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En sus formas transformadas, estos modelos pueden usar la regresión lineal para
poder evaluar los coeficientes constantes. Después, regresarse a su estado original y
usarse para fines predictivos. El ejemplo 17.4 ilustra este procedimiento con la ecuación
(17.13). Además, la sección 20.1 proporciona un ejemplo de ingeniería de la misma
clase de cálculo.
EJEMPLO 17.4 Linealización de una ecuación de potencias

Planteamiento del problema. Ajuste la ecuación (17.13) a los datos de la tabla 17.3
mediante una transformación logarítmica de los datos.
Solución. La figura l7.10a es una gráfica de los datos originales en su estado no trans-
formado. La figura 17.10b muestra la gráfica de los datos transformados. Una regresión
lineal de esta transformación mediante logoritmos dan el siguiente resultado:
log y = 1.75 log x – 0.300

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