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22.2 INTEGRACIÓN DE ROMBERG 649

a) b)
FUNCTION TrapEq (n, a, b) FUNCTION SimpEq (n, a, b)
h = (b — a) / n h = (b — a) / n
x = a x = a
sum = f(x) sum = f(x)
DOFOR i = 1, n — 1 DOFOR i = 1, n — 2, 2
x = x + h x = x + h
sum = sum + 2 * f(x) sum = sum + 4 * f(x)
END DO x = x + h
sum = sum + f(b) sum = sum + 2 * f(x)
FIGURA 22.1 TrapEq = (b — a) * sum / (2 * n) END DO
Algoritmos de las reglas END TrapEq x = x + h
a) del trapecio y b) sum = sum + 4 * f(x)
de Simpson 1/3 de sum = sum + f(b)
aplicaciones múltiples donde SimpEq = (b — a) * sum/(3 * n)
se tiene la función. END SimpEq

Desarrollamos programas de precisión simple, basados en esos seudocódigos, para
analizar el trabajo implicado y los errores en que se incurre al usar progresivamente más
segmentos para estimar la integral de una función simple. Para una función analítica,
las ecuaciones del error [ecuaciones (21.13) y (21.19)] indican que el aumento en el nú-
mero de segmentos n resultará en estimaciones más exactas de la integral. Esta obser-
vación es justificada en la figura 22.2, la cual es una gráfica del error verdadero contra
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n para la integral de f(x) = 0.2 + 25x – 200x + 675x – 900x + 400x . Observe cómo el
error disminuye conforme n se incrementa. Sin embargo, note también que para grandes
valores de n, el error empieza a aumentar conforme los errores de redondeo empiezan a
dominar. Observe además que se requiere un número muy grande de evaluaciones de la
función (y, por lo tanto, de más trabajo de cálculo) para alcanzar altos niveles de preci-
sión. Como una consecuencia de estas desventajas, la regla del trapecio y las reglas de
Simpson de aplicación múltiple algunas veces resultan inadecuadas para resolver pro-
blemas en contextos donde se necesitan alta eficiencia y errores mínimos.

22.2 INTEGRACIÓN DE ROMBERG

La integración de Romberg es una técnica diseñada para obtener integrales numéricas
de funciones de manera eficiente. Es muy parecida a las técnicas analizadas en el capí-
tulo 21, en el sentido de que se basa en aplicaciones sucesivas de la regla del trapecio.
Sin embargo, a través de las manipulaciones matemáticas, se alcanzan mejores resulta-
dos con menos trabajo.

22.2.1 Extrapolación de Richardson

Recuerde que en la sección 10.3.3 usamos refinamiento iterativo para mejorar la solución
de un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas. Hay técnicas de corrección del error
para mejorar los resultados de la integración numérica con base en la misma
estimación de la integral. Dichos métodos usan dos estimaciones de una integral para

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