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758 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

25.5.1 Método adaptativo de RK o de mitad de paso

El método de mitad de paso (o adaptativo de RK) consiste en realizar dos veces cada
paso, una vez como un solo paso e, independientemente, como dos medios pasos. La
diferencia entre los dos resultados representa un estimado del error de truncamiento
local. Si y representa la predicción con un solo paso, y y , la predicción con dos medios
2
1
pasos, el error ∆ se representa como:
∆ = y – y 1 (25.43)
2
Además de proporcionar un criterio para el control del tamaño de paso, la ecuación
(25.43) también se utiliza para corregir la predicción y . En la versión RK de cuarto
2
orden, la corrección es:
∆
y ← y + (25.44)
2
2
15
Dicha estimación tiene una exactitud de quinto orden.

EJEMPLO 25.12 Método adaptativo de RK de cuarto orden

Planteamiento del problema. Utilice el método adaptativo de RK de cuarto orden
para integrar y′ = 4e 0.8x – 0.5y desde x = 0 hasta 2 usando h = 2 y la condición inicial
y (0) = 2. Ésta es la misma ecuación diferencial que se resolvió antes en el ejemplo 25.5.
Recuerde que la solución verdadera es y(2) = 14.84392.

Solución. La predicción sencilla con un tamaño de paso h se calcula como sigue:

y()2 =+ 1 [3 2+ ( .6 40216 4+ .70108 ) 14+ .11105 ]2 15= .10584
2
6
Las dos predicciones de medio paso son:

y()1 =+ 1 [3 2+ ( .4 21730 3+ .91297 ) 5+ .945681 ]1 6= .20104
2
6
y

y()2 = . 6 20104 + 1 [ .5 80164 2+ ( .8 72954 7+ .99756 ) 12+ .71283 ]1 14= .86249
6
Por lo tanto, el error aproximado es:

E = 14 86249. −15 10584. =−0 01622.
a
15
que está bastante cercano al error verdadero:

E = 14.84392 – 14.86249 = –0.01857
t

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