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25.5 MÉTODOS ADAPTATIVOS DE RUNGE-KUTTA 763

que es una curva suave que gradualmente se aproxima a cero conforme x aumenta. En
cambio, la solución particular presenta una transición abrupta en la vecindad de x = 2
debido a la naturaleza de la función forzada (figura 25.23a). Use un esquema estándar RK
de cuarto orden para resolver la ecuación (E25.14.1) desde x = 0 hasta 4. Después emplee
el esquema adaptativo que se describe en esta sección para realizar el mismo cálculo.

Solución. Primero se utiliza el esquema clásico de cuarto orden para calcular la curva
mostrada en la figura 25.23b). Para hacer este cálculo se usa un tamaño de paso de 0.1,
de manera que se efectúan 4/(0.1) = 40 aplicaciones de la técnica. Después, se repite el
cálculo con un tamaño de paso de 0.05 para un total de 80 aplicaciones. La principal
discrepancia entre los dos resultados se presenta en la región que va de 1.8 a 2.0. La
magnitud de la discrepancia será aproximadamente de 0.1 a 0.2 por ciento.
Después, se desarrolla el algoritmo que se muestra en las figuras 25.21 y 25.22
dentro de un programa computacional y se utiliza para resolver el mismo problema. Se
elige un tamaño de paso inicial de 0.5 y una e = 0.00005. Los resultados se sobreponen
en la figura 25.23b. Observe cómo se emplean pasos grandes en las regiones de cambio
gradual. Después, en la vecindad de x = 2, disminuyen los pasos para tomar en cuenta
la naturaleza abrupta de la función forzada.

10

5

0
0 2 4 x
a)

2

1

0
0 2 4 x
b)

FIGURA 25.23
a) Una función forzada en forma de campana que induce un cambio abrupto en la solución
de una EDO [ecuación (E25.14.1)]. b) La solución. Los puntos indican las predicciones para
una rutina adaptativa paso-tamaño.

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