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25.5 MÉTODOS ADAPTATIVOS DE RUNGE-KUTTA 759

El error estimado se utiliza también para corregir la predicción

y(2) = 14.86249 – 0.01622 = 14.84627
la cual tiene un E = –0.00235.
t

25.5.2 Método de Runge-Kutta Fehlberg

Además de dividir en dos el paso, como una estrategia para ajustar el tamaño de paso,
un procedimiento alternativo para obtener estimación del error consiste en calcular dos
predicciones RK de diferente orden. Los resultados se restan después para obtener un
estimado del error local de truncamiento. Un defecto de tal procedimiento es el gran
aumento en la cantidad de cálculos. Por ejemplo, para una predicción de cuarto y quin-
to orden se necesita un total de 10 evaluaciones de la función por cada paso. El método
de Runge-Kutta Fehlberg o RK encapsulado sagazmente evita este problema al utilizar
un método RK de quinto orden que emplea las evaluaciones de la función del método
RK de cuarto orden correspondiente. Así, el procedimiento genera la estimación del
error ¡con sólo seis evaluaciones de la función!
En el presente caso, usamos la siguiente estimación de cuarto orden:
⎞
⎟
⎜
y i+1 = y + ⎛ 37 k + 250 k + 125 k + 512 k h (25.45)
i
4
3
1
6
⎝ 378 621 594 1 771 ⎠
junto con la fórmula de quinto orden:
⎞
⎜
⎟
y = y + ⎛ 2 825 k + 18 575 k + 13 525 k + 277 k + 1 k h (25.46)
i+1 i 1 3 4 5 6 ⎠
⎝ 27 648 43 384 55 296 14 336 4
donde
f x y
k = (, )
1 i i
⎛
k = f x + 1 h y + 1 k h ⎞ ⎠
,
⎝
2
i
i
1
5
5
⎛
k = f x + 3 h y +, 3 k h + 9 k h ⎞
3 ⎝ i 10 i 40 1 40 2 ⎠
⎛
k = f x + 3 h y + 3 k h − 9 k h + 6 k h ⎞
,
4 ⎝ i 5 i 10 1 10 2 5 3 ⎠
⎛
k = f x + , 11 k h + 5 kh − 70 k h + 35 k h ⎞
h y −
5 ⎝ i i 54 1 2 2 2 27 3 27 4 ⎠
⎛ 7 1 631 175 575 44 275
k = f x + h y + k h + k h + k h + k h
,
⎜
6 ⎝ i 8 i 55 296 1 512 2 13 824 3 110 592 4
+ 253 kh ⎞
5 ⎟
4 096 ⎠
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