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25.5 MÉTODOS ADAPTATIVOS DE RUNGE-KUTTA 761

donde h actual y h nuevo = tamaño de los pasos actual y nuevo, respectivamente, ∆ actual =
exactitud actual calculada, ∆ nuevo = exactitud deseada, y α = exponente constante que es
igual a 0.2 cuando se incrementa el tamaño de paso (por ejemplo, cuando ∆ actual ≤ ∆ nuevo )
y a 0.25 cuando se disminuye el tamaño de paso (∆ actual > ∆ nuevo ).
El parámetro clave en la ecuación (25.47) es, obviamente, ∆ nuevo ya que este valor
permite especificar la exactitud deseada. Una manera de lograrlo consistirá en relacionar
∆ nuevo con un nivel relativo de error. Como funciona bien sólo cuando se tienen valores
positivos, llega a originar problemas para soluciones que pasan por cero. Por ejemplo,
usted podría estar simulando una función oscilatoria que repetidamente pase por cero,
pero que esté limitada por valores máximos absolutos. En tal caso, se desearía que estos
valores máximos figuraran en la exactitud deseada.
Una forma más general de trabajar con estos casos es determinar ∆ nuevo como

∆ nuevo = ey escala

donde e = nivel de tolerancia global. La elección de y escala determinará, entonces, cómo se
escala el error. Por ejemplo, si y escala = y, la exactitud se dará en términos de errores relati-
vos fraccionales. Si usted tiene un caso donde desee errores constantes relativos a un lími-
te máximo preestablecido, haga y escala igual a ese límite. Un truco sugerido por Press y
cols. (1992) para obtener errores relativos constantes, excepto muy cerca de cero, es:

y escala = y + h dy
dx

Ésta es la versión que usaremos en nuestro algoritmo.

25.5.4 Algoritmo computacional
Las figuras 25.21 y 25.22 muestran el pseudocódigo para implementar la versión Cash-
Karp del algoritmo Runge-Kutta Fehlberg. Este algoritmo sigue el patrón dado en una
implementación más detallada proporcionada por Press y cols. (1992) para sistemas de
EDO.
La figura 25.21 implementa un solo paso de la rutina de Cash-Karp (que son las
ecuaciones 25.45 y 25.46). La figura 25.22 muestra un programa principal general jun-
to con una subrutina que adapta el tamaño de paso.

EJEMPLO 25.14 Aplicación con computadora de un esquema adaptativo de RK de cuarto orden

Planteamiento del problema. El método adaptativo de RK es apropiado para la so-
lución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria
dy −( x−2) /[ 2 0 075( . ) ]
2
2
+ 06. y = 10 e
dx (E25.14.1)
Observe que para la condición inicial, y(0) = 0.5, la solución general es:
y = 0.5e –0.6x (E25.14.2)

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