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764 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

En efecto, la utilidad de un esquema de integración adaptativo depende de la naturaleza
de las funciones que habrán de modelarse. En particular resulta ventajoso en aquellas
soluciones con grandes tramos suaves y con regiones cortas de cambio abrupto. Además,
tiene utilidad en aquellas situaciones donde no se conoce de antemano el tamaño de paso
correcto. En tales casos, la rutina adaptativa “sentirá” su camino para la solución man-
teniendo los resultados dentro de la tolerancia deseada. Así, avanzará con pasos peque-
ños, “de puntillas” por regiones de cambio abrupto y acelerará el paso cuando sean más
graduales las variaciones.

PROBLEMAS

25.1 Resuelva en forma analítica el problema de valores inicia- 25.10 Solucione en forma numérica el problema siguiente, de
les siguiente, en el intervalo de x = 0 a 2: t = 0 a 3:
dy dy
= yx −11. y =− yt+ 2 y 0() = 1
2
dx dt
donde y(0) = 1. Grafique la solución. Utilice el método de RK de tercer orden, con un tamaño de paso
25.2 Utilice el método de Euler con h = 0.5 y 0.25, para resolver de 0.5.
el problema 25.1. Grafique los resultados en la misma gráfica 25.11 Use los métodos de a) Euler, y b) RK de cuarto orden,
para comparar en forma visual la exactitud de los dos tamaños para resolver:
de paso. dy −
25.3 Emplee el método de Heun con h = 0.5 para resolver el =−2 y + 4 e x
dx
problema 25.1. Itere el corrector hasta que e s = 1%.
25.4 Emplee el método del punto medio con h = 0.5 y 0.25, para dz =− yz 2
resolver el problema 25.1. dx 3
25.5 Use el método de RK clásico de cuarto orden con h = 0.5 en el rango de x = 0 a 1, con un tamaño de paso de 0.2, con
para resolver el problema 25.1. y(0) = 2, y z(0) = 4.
25.6 Repita los problemas 25.1 a 25.5, pero para el problema de 25.12 Calcule el primer paso del ejemplo 25.14, con el método
valores iniciales siguiente, en el intervalo de x = 0 a 1: de RK de cuarto orden adaptativo, con h = 0.5. Verifique si el
dy ajuste del tamaño del paso está bien.
+
= (12 x) y y( )0 = 1
dx 25.13 Si e = 0.001, determine si se requiere ajustar el tamaño
del paso para el ejemplo 25.12.
25.7 Utilice los métodos de a) Euler y b) Heun (sin iteración)
25.14 Use el enfoque de RK-Fehlberg para llevar a cabo el
para resolver:
mismo cálculo del ejemplo 25.12, de x = 0 a 1, con h = 1.
2
dy − 05. t + = 25.15 Escriba un programa de computadora con base en la figu-
0
y
dt 2 ra 25.7. Entre otras cosas, incluya comentarios que documenten
donde y(0) = 2 y y’(0) = 0. Resuelva de x = 0 a 4, con h = 0.1. al programa para identificar qué es lo que se pretende realizar en
Compare los métodos por medio de graficar las soluciones. cada sección.
25.8 Resuelva el problema siguiente con el método de RK de 25.16 Pruebe el programa que desarrolló en el problema 25.15
cuarto orden: para duplicar los cálculos de los ejemplos 25.1 y 25.4.
2
dy + 06. dy + 8 y = 25.17 Haga un programa amistoso para el usuario para el méto-
0
dx 2 dx do de Heun con corrector iterativo. Pruébelo con la repetición de
los resultados de la tabla 25.2.
donde y(0) = 4 y y’(0) = 0. Resuelva de x = 0 a 5 con h = 0.5.
25.18 Desarrolle un programa de computadora amistoso para
Grafique sus resultados.
el usuario para el método clásico de RK de cuarto orden. Pruebe el
25.9 Resuelva la ecuación que se presenta a continuación, de
programa con la repetición del ejemplo 25.7.
t = 0 a 3, con h = 0.1, con los métodos de a) Heun (sin corrector),
25.19 Realice un programa de computadora amistoso para
y b) RK y Ralston de segundo orden:
el usuario para sistemas de ecuaciones, con el empleo del méto-
dy do de RK de cuarto orden. Use este programa para duplicar el
= y sen () y 0( ) = 1
3
t
dt cálcu lo del ejemplo 25.10.
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