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PROBLEMAS 765

25.20 El movimiento de un sistema acoplado masa resorte 25.23 Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado
(véase la figura P25.20) está descrito por la ecuación diferencial de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que
ordinaria que sigue: cae, como un paracaidista, por medio de la ecuación diferencial
2
dx dx siguiente:
m + c + kx = 0
dt 2 dt dv =− c d v
2
g
donde x = desplazamiento desde la posición de equilibrio (m), dt m
t = tiempo (s), m = 20 kg masa, y c = coeficiente de amortigua- donde v es la velocidad (m/s), t = tiempo (s), g es la aceleración
2
miento (N · s/m). El coeficiente de amortiguamiento c adopta de la gravedad (9.81 m/s ), c d = coeficiente de arrastre de se gundo
tres valores, 5 (subamortiguado), 40 (amortiguamiento crítico), orden (kg/m), y m = masa (kg). Resuelva para la velocidad y
y 200 (sobreamortiguado). La constante del resorte es k = 20 distancia que recorre un objeto de 90 kg con coeficiente de
N/m. La velocidad inicial es de cero y el desplazamiento inicial arrastre de 0.225 kg/m. Si la altura inicial es de 1 km, determine
es x = 1 m. Resuelva esta ecuación con el uso de un método en qué momento choca con el suelo. Obtenga la solución con a)
numérico durante el periodo de tiempo 0 ≤ t ≤ 15 s. Grafique el el método de Euler, y b) el método de RK de cuarto orden.
desplazamiento versus el tiempo para cada uno de los tres valo- 25.24 Un tanque esférico tiene un orificio circular en el fondo
res del coeficiente de amortiguamiento sobre la misma curva. a través del cual fluye líquido (véase la figura P25.24). La tasa
25.21 Si se drena el agua desde un tanque cilíndrico vertical por de flujo a través del agujero se calcula como:
medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido
cuando el tanque esté lleno y despacio conforme se drene. Como Q = CA 2 gH
sal
se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:
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donde Q sal = flujo de salida (m /s), C = coeficiente obtenido en
dy 2
=− ky forma empírica, A = área del orificio (m ), g = constante gravi-
dt tacional (= 9.81 m/s ) y H = profundidad del líquido dentro del
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donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del tanque. Emplee alguno de los métodos numéricos descritos en
área de la sección transversal del tanque y agujero de drenaje. La este capítulo a fin de determinar cuánto tiempo tomaría que el
profundidad del agua y se mide en metros y el tiempo t en minutos. agua fluyera por completo de un tanque de 3 m de diámetro con
Si k = 0.06, determine cuánto tiempo se requiere para vaciar el altura inicial de 2.75 m. Observe que el orificio tiene un diáme-
tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3 m. Resuel- tro de 3 cm y C = 0.55.
va con la aplicación de la ecuación de Euler y escriba un programa 25.25 Para simular una población se utiliza el modelo logístico:
de computadora en Excel. Utilice un paso de 0.5 minutos. dp
25.22 El siguiente es una ecuación diferencial de segundo orden = k (1 − p p / máx p )
gm
dt
con valor inicial:
donde p = población, k gm = tasa máxima de crecimiento en con-
2
dx + x 5 ( ) dx + ( x 7+ ) sen (ω t =) 0 diciones ilimitadas, y p máx es la capacidad de carga. Simule la
dt 2 dt población mundial entre 1950 y 2000, con el empleo de algún
donde método numérico de los que se describió en este capítulo. Para
dx
()0 = . 1 5 y x()0 = 6
dt
Observe que w = 1. Descomponga la ecuación en dos ecuaciones
diferenciales de primer orden. Después de la descomposición,
resuelva el sistema de t = 0 a 15, y grafique sus resultados.
r

x
k

m c H

Figura P25.20
Figura P25.20 Tanque esférico.

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