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CAPÍTULO 26
Métodos rígidos
y de pasos múltiples
El presente capítulo cubre dos áreas de estudio. Primero, describimos las EDO rígidas.
Éstas son tanto EDO en forma individuales como sistemas de EDO, que tienen compo-
nentes rápidos y lentos para su solución. Presentamos la idea de una técnica de solución
implícita como una respuesta comúnmente utilizada para este problema. Después ana-
lizamos los métodos de pasos múltiples o multipaso. Estos algoritmos guardan infor-
mación de pasos anteriores para obtener de manera más efectiva la trayectoria de la
solución; también ofrecen la estimación del error de truncamiento que se utiliza para
implementar el control adaptativo del tamaño de paso.
26.1 RIGIDEZ
El término rigidez constituye un problema especial que puede surgir en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias. Un sistema rígido es aquel que tiene componentes
que cambian rápidamente, junto con componentes de cambio lento. En muchos casos,
los componentes de variación rápida son efímeros, transitorios, que desaparecen, después
de lo cual la solución es dominada por componentes de variación lenta. Aunque los fe-
nómenos transitorios existen sólo en una pequeña parte del intervalo de integración,
pueden determinar el tiempo en toda la solución.
Tanto las EDO individuales como los sistemas pueden ser rígidos. Un ejemplo de
una EDO rígida es:
dy t –
−
=−1 000 y + 3 000 2 000 e (26.1)
dt
Si y(0) = 0, la solución analítica que se obtiene es:
y =−3 0 998. e – 1 000 t – 2 002. e t – (26.2)
Como se muestra en la figura 26.1, la solución al principio se encuentra dominada
por el término exponencial rápido (e –1 000t ). Después de un periodo muy corto (t < 0.005),
–t
esta parte transistoria termina y la solución se regirá por el exponencial lento (e ).
Al examinar la parte homogénea de la ecuación (26.l), se conoce el tamaño de paso
necesario para la estabilidad de tal solución:
dy
=− ay (26.3)
dt
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