Page 793 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

26.1 RIGIDEZ 769

tales rutinas usarían pasos pequeños en las partes transistorias rápidas y pasos grandes
en las otras. Sin embargo, éste no es el caso, ya que para los requerimientos de estabili-
dad se necesitarán pasos muy pequeños en toda la solución.
En lugar de usar procedimientos explícitos, los métodos implícitos ofrecen una
solución alternativa. Tales representaciones se denominan implícitas, debido a que la
incógnita aparece en ambos lados de la ecuación. Una forma implícita del método de
Euler se desarrolla evaluando la derivada en el tiempo futuro,

y i+1 = y + dy i+1 h
i
dt
A esto se le llama: método de Euler hacia atrás o implícito. Si se sustituye la ecuación
(26.3) se llega a:
y = y – ay h
i+1
i
i+1
de donde se obtiene:
y = y i (26.5)
i+1 +
1 ah
En este caso, sin importar el tamaño de paso, ⏐y⏐ → 0 conforme i → ∞. De ahí que el
i
procedimiento se llame incondicionalmente estable.
EJEMPLO 26.1 Euler explícito e implícito
Planteamiento del problema. Con los métodos explícito e implícito de Euler resuelva
dy t −
−
=−1 000 y + 3 000 2 000 e
dt
donde y(0) = 0. a) Use el método de Euler explícito con tamaños de paso de 0.0005 y
0.0015 para encontrar y entre t = 0 y 0.006. b) Utilice el método implícito de Euler con
un tamaño de paso de 0.05 para encontrar y entre 0 y 0.4.
Solución.
a) En este problema, el método explícito de Euler es:
–ti
y = y + (–1 000y + 3 000 – 2 000e )h
i+1
i
i
El resultado para h = 0.005 se despliega en la fi gura 26.2a junto con la solución
analítica. Aunque muestre algún error de truncamiento, el resultado capta la forma
general de la solución analítica. En cambio, cuando el tamaño de paso se incrementa
a un valor justo debajo del límite de estabilidad (h = 0.0015), la solución presenta
oscilaciones. Usando h > 0.002 se tiene como resultado una solución totalmente
inestable; es decir, la solución tenderá al infi nito conforme se avanza en las itera-
ciones.
b) El método de Euler implícito es:

y = y i + (–1 000y i+1 + 3 000 – 2 000e –ti+1 )h
i+1
Ahora como la EDO es lineal, se reordena esta ecuación de tal forma que y i+1 quede
sola en el lado izquierdo,

6/12/06 14:02:31
Chapra-26.indd 769 6/12/06 14:02:31
Chapra-26.indd 769