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26.2 MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 771

Observe que los exponentes son negativos y difieren por cerca de 2 órdenes de magnitud.
Como en una sola ecuación, los exponentes grandes son los que responden rápidamen-
te y representan la esencia de la rigidez del sistema.
Para este ejemplo el método implícito de Euler para sistemas se formula como
= y + (–5y + 3y )h (26.8a)
y 1,i+1 1,i 1,i+1 2,i+1
y 2,i+1 = y + (100y 1,i+1 – 301y 2,i+1 )h (26.8b)
2,i
Al agrupar términos se tiene
(1 + 5h)y 1,i+1 – 3hy 2,i+1 = y 1,i (26.9a)

–100hy 1,i+1 + (1 + 301h)y 2,i+1 = y 2,i (26.9b)

Así, notamos que el problema consiste en resolver un conjunto de ecuaciones simultáneas
en cada paso.
Para EDO no lineales, la solución se vuelve aún más difícil, ya que debe resolverse
un sistema de ecuaciones simultáneas no lineales (recuerde la sección 6.5). Así, aunque
se gana estabilidad a través de procedimientos implícitos, se paga un precio al agregar
mayor complejidad a la solución.
El método implícito de Euler es incondicionalmente estable y tiene sólo una exactitud
de primer orden. También es posible desarrollar de manera similar un esquema de inte-
gración para la regla del trapecio implícita de segundo orden para sistemas rígidos. En
general, es preferible tener métodos de orden superior. Las fórmulas de Adams-Moulton
descritas después, en este capítulo, también son útiles para determinar métodos implíci-
tos de orden superior. Sin embargo, los límites de estabilidad de tales procedimientos son
muy rigurosos cuando se aplican a sistemas rígidos. Gear (1971) desarrolló una serie
especial de esquemas implícitos que tienen límites de estabilidad más grandes, basados
en las fórmulas de diferencias hacia atrás. Se ha hecho un trabajo muy fuerte para de-
sarrollar el software que implemente los métodos de Gear en forma eficiente. Dando como
resultado que sea probablemente el método más utilizado para resolver sistemas rígidos.
Además, Rosenbrock y otros (véase Press y colaboradores, 1992) han propuesto algorit-
mos implícitos, de Runge-Kutta, donde los términos k aparecen en forma implícita. Dichos
métodos poseen buenas características de estabilidad y son bastante adecuados para re-
solver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias rígidas.

26.2 MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES

Los métodos de un paso que se describieron en las secciones anteriores utilizan infor-
mación de un solo punto, (x , y ), para predecir un valor de la variable dependiente, y ,
i
i+1
i
en un valor futuro, de la variable independiente x (figura 26.3a). Los procedimientos
i+1
alternativos, llamados métodos de pasos múltiples o multipasos (figura 26.3b), se basan
en que, una vez empezado el cálculo, se tiene a disposición información de los puntos
anteriores. La curvatura de las líneas que unen esos valores previos ofrecen información
respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos de pasos múltiples explorados en
este capítulo aprovechan tal información para resolver las EDO. Antes de describir las
versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que
sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.

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