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772 MÉTODOS RÍGIDOS Y DE PASOS MÚLTIPLES

y y

FIGURA 26.3
Representación gráfi ca de
la diferencia fundamental
entre los métodos a) de un x i x i +1 x x i –2 x i –1 x i x i +1 x
paso y b) de pasos múltiples a) b)
para la solución de EDO.

26.2.1 El método de Heun sin autoinicio

Recuerde que el procedimiento de Heun utiliza el método de Euler como un predictor
[ecuación (25.15)]:

0
y i+1 = y + f(x , y )h (26.10)
i
i
i
y la regla del trapecio como un corrector [ecuación (25.16)]:
0
(, )
fx ,
fx y + ( y )
y i+1 = y + i i i+1 i+1 h (26.11)
i
2
2
3
Así, el predictor y el corrector tienen errores de truncamiento local de O(h ) y O(h ),
respectivamente. Esto sugiere que el predictor es la parte débil en el método, a causa de
que tiene el error más grande. Esta debilidad es significativa puesto que la eficiencia del
paso corrector depende de la exactitud de la predicción inicial. En consecuencia, una
forma de mejorar el método de Heun consiste en desarrollar un predictor que tenga un
3
error local de O(h ). Esto se obtiene usando el método de Euler y la pendiente en (x i , y i ),
como en:
así como una información extra de un valor anterior y i–1
0
y i+1 = y + f(x , y )2h (26.12)
i
i
i–1
3
Observe que la ecuación (26.12) alcanza O(h ) a expensas de emplear un tamaño de paso
mayor, 2h. Además, note que la ecuación (26.12) no es de autoinicio, ya que necesita un
valor previo de la variable dependiente y . Tal valor no está disponible en un problema
i–1
común de valor inicial. Por ello, las ecuaciones (26.11) y (26.12) se denominan método
de Heun sin autoinicio.
Como se indica en la figura 26.4, la derivada estimada para la ecuación (26.12) se
localiza ahora en el punto medio y no al inicio del intervalo sobre el cual se hace pre-
dicción. Como se consideró anteriormente, esta ubicación centrada mejora el error del
3
predictor a O(h ). Sin embargo, antes de realizar una deducción formal del método de
Heun sin autoinicio, lo resumiremos y lo expresaremos utilizando una nomenclatura
ligeramente modificada:
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