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3.3 DEFINICIONES DE ERROR 59

En capítulos posteriores se explicarán con detalle éste y otros métodos para expresar
errores.
Los signos de las ecuaciones (3.2) a (3.5) pueden ser positivos o negativos. Si la
aproximación es mayor que el valor verdadero (o la aproximación previa es mayor que
la aproximación actual), el error es negativo; si la aproximación es menor que el valor
verdadero, el error es positivo. También en las ecuaciones (3.3) a (3.5), el denominador
puede ser menor a cero, lo cual también llevaría a un error negativo. A menudo, cuando
se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error, sino más bien que su valor
. Por lo tanto,
absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada e s
es útil emplear el valor absoluto de las ecuaciones (3.2) a (3.5). En tales casos, los cálcu-
los se repiten hasta que

|e | < e s (3.6)
a
Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está
dentro del nivel aceptable fijado previamente e . Observe que en el resto del texto en
s
general emplearemos exclusivamente valores absolutos cuando utilicemos errores rela-
tivos.
Es conveniente también relacionar estos errores con el número de cifras significa-
tivas en la aproximación. Es posible demostrar (Scarborough, 1966) que si el siguiente
criterio se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es correcto en al menos n
cifras significativas.
2–n
e = (0.5 × 10 )% (3.7)
s

EJEMPLO 3.2 Estimación del error con métodos iterativos
Planteamiento del problema. En matemáticas con frecuencia las funciones se repre-
sentan mediante series infinitas. Por ejemplo, la función exponencial se calcula usando
2
3
x x x n
x … (E3.2.1)
e = 1 + x + —– + —– + + —–
2! 3! n!
Así cuanto más términos se le agreguen a la serie, la aproximación será cada vez más
x
una mejor estimación del valor verdadero de e . La ecuación (E3.2.1) se conoce como
expansión en series de Maclaurin.
x
Empezando con el primer término e = 1 y agregando término por término, estime
0.5
el valor de e . Después de agregar cada término, calcule los errores: relativo porcentual
verdadero y normalizado a un valor aproximado usando las ecuaciones (3.3) y (3.5),
0.5
respectivamente. Observe que el valor verdadero es e = 1.648721… Agregue términos
hasta que el valor absoluto del error aproximado e sea menor que un criterio de error
a
preestablecido e con tres cifras significativas.
s
Solución. En primer lugar la ecuación (3.7) se emplea para determinar el criterio de
error que asegura que un resultado sea correcto en al menos tres cifras significativas:
2–3
e = (0.5 × 10 )% = 0.05%
s
Por lo tanto, se agregarán términos a la serie hasta que e sea menor que este valor.
a

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