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842 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

0.4451 1.2470 1.8019
a) = b) = c) =
LC LC LC
FIGURA 28.15
Representación visual de los modos de oscilación naturales del circuito LC de la fi gura 28.14.
Observe que los diámetros de las fl echas circulares son proporcionales a las magnitudes de las corrientes en cada ciclo.

De manera similar, al sustituir el segundo valor propio l = 1.555, el resultado será
–1.8018i = i = 2.247i
1 2 3
Como se ilustra en la figura 28.15b, el primer ciclo oscila en dirección opuesta respecto
al segundo y al tercero. Por último, el tercer modo se determina como
–0.445i = i = –0.8718i
1 2 3
En consecuencia, como se muestra en la figura 28.15c, el primero y el tercer ciclos os-
cilan en dirección opuesta al segundo.

28.4 EL PÉNDULO OSCILANTE (INGENIERÍA
MECÁNICA/AERONÁUTICA)

Antecedentes. Los ingenieros mecánicos (así como todos los otros ingenieros) a
menudo enfrentan problemas relacionados con el movimiento periódico de cuerpos libres.
Para abordar tales problemas se requiere conocer la posición y la velocidad de un cuer-
po en función del tiempo. Tales funciones son invariablemente la solución de ecuaciones
FIGURA 28.16
Diagrama de cuerpo libre diferenciales ordinarias. Estas ecuaciones diferenciales se basan en las leyes del movi-
del péndulo oscilante, miento de Newton.
donde se muestran las Como ejemplo sencillo, considere el péndulo simple que se presentó en la figura
fuerzas sobre la partícula y PT7.1. La partícula de peso W está suspendida de un cable sin peso de longitud l. Las
la aceleración. únicas fuerzas que actúan sobre esta partícula son su peso y la tensión R en el cable. La
posición de la partícula en cualquier instante está completamente especificada en térmi-
nos del ángulo q y l.
R El diagrama de cuerpo libre de la figura 28.16 muestra las fuerzas que actúan sobre
la partícula y la aceleración. Es conveniente aplicar las leyes del movimiento de Newton
x
en la dirección x, tangente a la trayectoria de la partícula:
W
a Σ F =− W sen θ = a
g

2
donde g = la constante gravitacional (32.2 ft/s ) y a = la aceleración en la dirección x.
y
W La aceleración angular de la partícula (a) es

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