Page 867 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

28.4 EL PÉNDULO OSCILANTE 843

α = a
l
2
2
Por lo tanto, en coordenadas polares (a = d q/dt ),
2
−W sen θ = Wl α = Wl d θ
g g dt 2
o
d θ + g sen θ = 0 (28.15)
2
dt 2 l

Esta ecuación aparentemente simple es una ecuación diferencial no lineal de segundo
orden. En general, es difícil o imposible resolver tales ecuaciones de manera analítica.
Usted tiene dos opciones para poder seguir adelante. Primero, reducir la ecuación dife-
rencial a una forma que sea posible resolver analíticamente (recuerde la sección PT7.1.1)
o, segundo, utilizar una técnica de aproximación numérica para resolver la ecuación
diferencial de manera directa. Examinaremos ambas opciones en este ejemplo.

Solución. Procediendo con la primera opción, recordemos que la expansión en series
de potencias para sen q está dada por
θ 3 θ 5 θ 7
sen θ = θ − + − + (28.16)
3! 5! 7!
Para desplazamientos angulares pequeños, sen q es aproximadamente igual a q cuando
se expresa en radianes. Por lo tanto, para desplazamientos pequeños, la ecuación (28.15)
se convierte en
d θ + g θ = 0 (28.17)
2
dt 2 l

la cual es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Esta aproximación es muy
importante, ya que la ecuación (28.17) es fácil de resolver analíticamente. La solución,
basada en la teoría de las ecuaciones diferenciales, está dada por

θ( )t = θ cos g t (28.18)
0
l
donde q = el desplazamiento en t = 0 y donde se supone que la velocidad (υ = dq/dt) es
0
cero en t = 0. Al tiempo requerido por el péndulo para un ciclo completo de oscilación
se le llama periodo, y está dado por
l
T = 2π (28.19)
g
En la figura 28.17 se muestra una gráfica del desplazamiento q y la velocidad dq/dt
en función del tiempo, obtenidas a partir de la ecuación (28.18) con q = p/4 y l = 2 ft.
0
El periodo, como se calculó con la ecuación (28.19), es 1.5659 s.

6/12/06 14:03:40
Chapra-28.indd 843
Chapra-28.indd 843 6/12/06 14:03:40