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840 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

El sistema de EDO se deriva con respecto a t y se reordena para llegar a
2
di 1
L 1 + ( i − i =) 0
1 2 1 2
dt C
1
2
di 1 1
L 2 2 + ( i − i −) ( i − i =) 0
2
3
1
2
dt 2 C C
2 1
2
di 1 1
L 3 3 + i − ( i − i =) 0
2
3
3
dt 2 C C
3 2
La comparación de este sistema con el de la ecuación (27.5) indica una analogía
entre un sistema masa-resorte y un circuito LC. Como se hizo con la ecuación (27.5), la
solución se considera de la forma
i = A sen (ω t)
j j
Esta solución, junto con su segunda derivada, se sustituye en las EDO simultáneas.
Después de simplificar, el resultado es
⎛ 1 ⎞ 1
⎜ − L ω 2 ⎟ A 1 − A 2 = 0
1
⎝ C 1 ⎠ C 2
− 1 A 1 + ⎛ ⎜ 1 + 1 − L ω 2 ⎞ ⎟ A 2 − 1 A 3 = 0
2
C 1 ⎝ C 1 C 2 ⎠ C 2
− 1 A 2 + ⎛ ⎜ 1 + 1 − L ω 2 ⎞ ⎟ A 3 = 0
3
C 2 ⎝ C 2 C 3 ⎠
Así, hemos formulado un problema de valores propios. Al hacer una simplificación se
tiene el caso especial donde las C y las L son constantes. En dicha situación, el sistema
se expresa en forma matricial como
⎡ 1− λ − 1 0 ⎤⎧ ⎫
i
1
⎥⎪ ⎪
⎢ − 2 − λ − 1 ⎨ ⎬ = {}
⎢ 1 ⎥ i 2 0 (28.12)
⎢ ⎣ 0 − 1 2 − ⎥ λ ⎦⎩ ⎪ ⎪
3⎭
i
donde
l = LCω 2 (28.13)
Se pueden emplear métodos numéricos para determinar los valores y vectores pro-
pios. MATLAB resulta particularmente conveniente para este cálculo. Se desarrolló la
siguiente sesión en MATLAB para realizar esto:
>>a=[1 –1 0; –1 2 –1; 0 –1 2]
a =

1 –1 0
–1 2 –1
0 –1 2

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