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852 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

28.38 Un sistema amortiguado y forzado resorte-masa (véase Resuelva esta ecuación con el empleo de algún método numéri-
la figura P28.38) tiene la ecuación diferencial ordinaria siguien- co durante el periodo de tiempo 0 ≤ t ≤ 15 s. Grafique el despla-
te para su movimiento: zamiento y la velocidad versus el tiempo, y grafique la función
de fuerza sobre la misma curva. Asimismo, desarrolle una grá-
2
dx dx dx
m + a + kx = F sen (ω fica separada de la velocidad versus el desplazamiento.
t)
dt 2 dt dt o 28.39 La distribución de temperatura en una aleta de enfriamien-
to cónica y ahusada (véase la figura P28.39) está descrita por la
donde x = desplazamiento a partir de la posición de equilibrio, t
2
= tiempo, m = 2 kg masa, a = 5 N/(m/s) y k = 6 N/m. El térmi- ecuación diferencial siguiente, que ha sido no dimensionada
2
no de amortiguamiento es no lineal y representa el amortigua- du + ⎛ 2 ⎞ ⎛ du − pu =
⎞
miento del aire. La función de fuerza F sen(wt) tiene valores de 2 ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠ 0
0 dx dx
F = 2.5 N y w = 0.5 rad/s. Las condiciones iniciales son
0
donde u = temperatura (0 ≤ u ≤ 1), x = distancia axial (0 ≤ x ≤
dx
Velocidad inicial = 0 ms/ 1), y p es un parámetro no dimensional que describe la transfe-
dt rencia de calor y la geometría
Desplazamiento inicial x = 1 m
p = hL 1 + 4 2
k 2 m
Figura P28.38 donde h = coeficiente de transferencia de calor, k = conductivi-
dad térmica, L = longitud o altura del cono, y m = pendiente de
la pared del cono. La ecuación tiene las condiciones de frontera
x siguientes
Amortiguamiento por aire
u(x = 0) = 0 u(x = 1) = 1
F sen(t)
o
m Resuelva esta ecuación para la distribución de temperatura con
el empleo de métodos de diferencias finitas. Para las derivadas
k
utilice diferencias finitas exactas de segundo orden análogas.
Escriba un programa de computadora para obtener la solución y
grafique la temperatura versus la distancia axial para distintos
valores de p = 10, 20, 50 y 100.
28.40 Las dinámicas de un sistema forzado resorte-masa- amor-
Figura P28.39 tiguador se representa con la EDO de segundo orden siguiente:

2
dx dx
+
3
t)
m + c + kx k x = Pcos(ω
dt 2 dt 1 3
x
donde m = 1 kg, c = 0.4 N · s/m, P = 0.5 N, y w = 0.5/s. Utilice
x = 1 un método numérico para resolver cuál es el desplazamiento (x)
u(x = 0) = 0 y la velocidad (v = dx/dt) como función del tiempo con condi-
ciones iniciales x = v = 0. Exprese sus resultados en forma grá-
fica como gráficas de series de tiempo (x y v versus t) y gráfica
de plano-fase (v versus x). Haga simulaciones para un resorte a)
lineal (k = 1; k = 0) y b) no lineal (k = 1; k = 0.5).
1 3 1 3
28.41 La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que
practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha
caído una distancia en la que la cuerda está extendida por com-
pleto y comienza a encogerse. Así, si la distancia recorrida es
menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto
u(x = 1) = 1
a las fuerzas gravitacional y de arrastre. Una vez que la cuerda
comienza a encogerse, también deben incluirse las fuerzas del

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