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PROBLEMAS 851

28.32 En la sección 8.4 se presenta una ecuación diferencial de 28.37 La ecuación diferencial ordinaria siguiente describe el
segundo orden que se utiliza para analizar las oscilaciones no movimiento de un sistema amortiguado resorte-masa (véase la
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forzadas de un amortiguador de auto. Dado que m = 1.2 × 10 figura P28.37):
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7
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g, c = 1 × 10 g/s, y k = 1.25 × 10 g/s , use algún método nu- dx dx dx
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3
0
mérico para resolver cuál es el caso en que x(0) = 0.4 y dx(0)/dt m 2 + a + bx =
dt dt dt
= 0.0. Resuelva para ambos desplazamientos y la velocidad de
donde x = desplazamiento a partir de la posición de equilibrio,
t = 0 a 0.5 s.
2
t = tiempo, m = 1 kg masa, y a = 5 N/(m/s) . El término de amor-
28.33 La tasa de enfriamiento de un cuerpo se expresa como
tiguamiento es no lineal y representa el amortiguamiento del
dT
=− kT −( T ) aire.
dt a El resorte es un resorte cúbico y también es no lineal con b
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donde T = temperatura del cuerpo (°C), T = temperatura del = 5 N/m . Las condiciones iniciales son
a
medio circundante (°C) y k = constante de proporcionalidad dx
-1
(min ). Así, esta ecuación especifica que la tasa de enfriamiento Velocidad inicial dt = 05. m/s
es proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y del
ambiente circundante. Si una bola de metal se calienta a 90ºC y Desplazamiento inicial x = 1 m
se sumerge en agua que se mantiene a un valor constante de T
a
= 20ºC, utilice un método numérico para calcular el tiempo que Resuelva esta ecuación con algún método numérico para el pe-
–1
toma que la bola se enfríe a 40ºC, si k = 0.25 min . riodo de tiempo 0 ≤ t ≤ 8 s. Grafique el desplazamiento y la
28.34 La tasa de flujo calorífico (conducción) entre dos puntos velocidad versus el tiempo, y grafique el retrato fase-plano (ve-
de un cilindro calentado por un extremo está dada por locidad versus desplazamiento) para todos los casos siguientes:
a) Ecuación lineal similar
dQ dT
= λ A dx dx
2
dt dx m + 2 + x 5 =
0
dt 2 dt
donde l = una constante, A = área de la sección transversal del b) La ecuación no lineal con solo un término de resorte no
cilindro, Q = flujo calorífico, T = temperatura, t = tiempo, y x lineal
= distancia a partir del extremo calentado. Debido a que la
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dx dx
3
0
ecuación involucra dos derivadas, la ecuación se simplificará + 2 + bx =
dt 2 dt
haciendo que
c) La ecuación no lineal con solo un término de amortigua-
dT 100( Lx− )( 20 t − )
= miento no lineal
dx 100 − xt dx dx dx
2
m 2 + a + x 5 = 0
donde L es la longitud de la barra. Combine las dos ecuaciones dt dt dt
y calcule el flujo de calor de t = 0 a 25 s. La condición inicial es d) La ecuación por completo no lineal en la que tanto el término
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Q(0) = 0 y los parámetros son l = 0.5 cal · cm/s, A = 12 cm , L de amortiguamiento como el de resorte son no lineales
= 20 cm, y x = 2.5 cm. Grafique sus resultados. dx dx dx
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3
28.35 Repita el problema del paracaidista (ejemplo 1.2), pero m 2 + a + bx = 0
dt dt dt
con la fuerza hacia arriba que se debe al arrastre igual a una tasa
de segundo orden:
F =− cv Figura P28.37
2
u
donde c = 0.225 kg/m. Resuelva de t = 0 a 30, grafique sus re-
sultados y compárelos con los del ejemplo 1.2.
x
28.36 Imagine que después de caer durante 13 s, el paracaidista
Resorte cúbico
de los ejemplos 1.1 y 1.2, tira de la cuerda de apertura. En este
punto, suponga que el coeficiente de arrastre se incrementa en
m Amortiguamiento
forma instantánea a un valor constante de 55 kg/s. Calcule la del aire
velocidad del paracaidista de t = 0 a 30 s con el método de Heun
(sin iteración del corrector) con un tamaño de paso de 2 s. Gra-
fique v versus t, de t = 0 a 30 s.
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