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850 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

A(h) ⎛ k + k 2 ⎞ k
⎜ ⎝ 1 m 1 2 −ω ⎟ ⎠ X 1 − m 2 1 X 2 = 0

h − k 2 X + ⎛ k + k 3 −ωω 2 ⎞ ⎟ X − k 3 X = 0
2
1 ⎜
m 2 ⎝ m 2 ⎠ 2 m 2 3
e k ⎛ k ⎞
− 3 X + ⎜ 3 − ω 2 ⎟ X == 0
d m 3 2 ⎝ m 3 ⎠ 3
Determine los valores y vectores propios y represente en forma
Figura P28.24
gráfica los modos de vibración de la estructura por medio de
dibujar las amplitudes versus la altura para cada uno de los
vectores propios. Normalice las amplitudes de modo que el
desplazamiento del tercer piso sea igual a uno.
m = 8 000 kg
3
Ingeniería eléctrica
= 1 800 kN/m
k 3
28.26 Realice el mismo cálculo que en la primera parte de la
m = 10 000 kg sección 28.3, pero con R = 0.025 Ω.
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28.27 Resuelva la EDO de la primera parte de la sección 8.3 de
k = 2 400 kN/m t = 0 a 0.5, con técnicas numéricas, si q = 0.1 e i = –3.281515 en
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t = 0. Utilice un valor de R = 50 y los mismos parámetros que
m = 12 000 kg en la sección 8.3.
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28.28 Para un circuito sencillo RL, la ley de Kirchhoff del
k = 3 000 kN/m
1
voltaje requiere que (si se cumple la ley de Ohm)
di
L + Ri = 0
dt
Figura P28.25
donde i = corriente, L = inductancia y R = resistencia. Resuelva
para i, si L = 1, R = 1.5 e i(0) = 0.5. Resuelva este problema en
forma analítica y con algún método numérico. Presente sus re-
sultados en forma gráfica.
donde h = profundidad (m), t = tiempo (s), d = diámetro del tubo
28.29 En contraste con el problema 28.28, las resistencias reales
(m), A(h) = área de la superficie del estanque como función de
no siempre siguen la ley de Ohm. Por ejemplo, la caída del
la profundidad (m ), g = constante gravitacional (= 9.81 m/s ) y
2
2
voltaje quizá sea no lineal y la dinámica del circuito quede des-
e = profundidad de la salida del tubo por debajo del fondo del
crita por una relación como la siguiente
estanque (m). Con base en la tabla siguiente de área-profundidad,
resuelva esta ecuación diferencial para determinar cuánto tiem- di i ⎡ i ⎛ ⎞ 3 ⎤
L + R ⎢ − ⎥ = 0
po tomaría que el estanque se vaciara dado que h(0) = 6 m, d = dt ⎣ I I ⎝ ⎠ ⎦
0.25 m, e = 1 m.
donde todos los demás parámetros se definen como en el pro-
blema 28.28 e I es una corriente conocida de referencia e igual
h, m 6 5 4 3 2 1 0
a 1. Resuelva para i como función del tiempo en las mismas
A(h), 10 m 2 1.17 0.97 0.67 0.45 0.32 0.18 0 condiciones que se especifican para el problema 28.28.
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28.30 Desarrolle un problema de valor propio para una red LC
28.25 Los ingenieros y científicos utilizan modelos masa-resor- similar a la de la figura 28.14, pero con solo dos lazos. Es decir,
te para entender la dinámica de las estructuras sujetas a la in- omita el lazo de i . Dibuje la red e ilustre la forma en que las
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fluencia de disturbios, tales como terremotos. En la figura P28.25 corrientes oscilan en sus modos primarios.
se ilustra una representación como esas para un edificio de tres
plantas. En este caso, el análisis se limita al movimiento hori- Ingeniería mecánica/aeroespacial
zontal de la estructura. Los balances de fuerza que se desarrollan 28.31 Lleve a cabo el mismo cálculo que en la sección 28.4 pero
para este sistema son los siguientes para un péndulo de 1 m de longitud.
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