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848 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

elevada y constante de G ′ p . En tales casos, el crecimiento es
máx
ilimitado y la ecuación (P28.19) en esencia es idéntica a la
Capa (P28.18). Sin embargo, conforme la población crece (es decir,
Bahía superior conforme p se aproxima a p ), G disminuye hasta que p = p
(3) (1) máx máx
es cero. Así, el modelo predice que, cuando la población alcan-
za el nivel máximo sostenible, el crecimiento es inexistente, y
Capa el sistema se encontrará en estado estable. Al sustituir la ecuación
inferior (P28.19) en la (P28.18) se llega a
(2)
dp
= Gp′( − p p)
dt máx
Para la misma isla que se estudió en el problema 28.18, emplee
Figura P28.17 el método de Heun (sin iteración) para predecir la población en
t = 20 años, con el uso de un tamaño de paso de 0.5 años. Emplee
–5
valores de G = 10 por persona-año y p = 20 000 personas.
máx
Al tiempo t = 0, la isla tiene una población de 6 000 personas.
donde V = volumen del segmento i, Q = flujo y E = la tasa de Grafique p versus t e interprete la forma de la curva.
i ij
mezcla difusiva entre los segmentos i y j. Utilice los datos y las 28.20 El Parque Nacional Isla Royal es un archipiélago de 210
ecuaciones diferenciales para estimar las E si V = 1 × 10 , V = millas cuadradas compuesto de una sola isla grande y muchas
7
1 2
6
6
6
8 × 10 , V = 5 × 10 y Q = 4 × 10 . Para su análisis, emplee el pequeñas, en el lago Superior. Alrededor de 1900 llegaron alces
3
método de Euler con tamaño de paso de 0.1. y hacia 1930, su población se acercaba a 3 000, por lo que de-
28.18 Las dinámicas del crecimiento de la población son im- vastaban la vegetación. En 1949, los lobos cruzaron un puente
portantes en varios estudios de planeación tales como el trans- de hielo desde Ontario. Desde finales de la década de 1950, se
porte y la ingeniería de los recursos hidráulicos. Uno de los registran los números de alces y lobos, como se muestra a con-
modelos más simples de dicho crecimiento incorpora la suposi- tinuación. (Un guión indica que no hay datos.)
ción de que la tasa de cambio de la población p es proporcional
Año Alces Lobos Año Alces Lobos
a la que existe en cualquier momento t:
dp 1960 700 22 1972 836 23
= Gp
dt 1961 — 22 1973 802 24
1962 — 23 1974 815 30
donde G = tasa de crecimiento (anual). Este modelo tiene senti- 1963 — 20 1975 778 41
do intuitivo porque entre mayor sea la población más grande será 1964 — 25 1976 641 43
el número de padres potenciales. Al tiempo t = 0, una isla tiene 1965 — 28 1977 507 33
una población de 6 000 personas. Si G = 0.075 por año, emplee 1966 881 24 1978 543 40
el método de Heun (sin iteración) para predecir la población en 1967 — 22 1979 675 42
t = 20 años, con el uso de un tamaño de paso de 0.5 años. Gra- 1968 1000 22 1980 577 50
1969 1150 17 1981 570 30
fique p versus t, en papel estándar y semilogarítmico. Determine
1970 966 18 1982 590 13
la pendiente de la línea sobre la gráfica semilogarítmica. Anali-
1971 674 20 1983 811 23
ce sus resultados.
28.19 Aunque el modelo del problema 28.18 funciona en forma
adecuada cuando el crecimiento de la población es ilimitado, a) Integre las ecuaciones de Lotka-Volterra de 1960 a 2020.
falla ante la existencia de factores tales como falta de comida, Determine los valores de los coeficientes que arrojan un
contaminación y falta de espacio, los cuales inhiben el creci- ajuste óptimo. Compare su simulación con los datos que
miento. En tales casos, la tasa de crecimiento se considera que usan un enfoque de series de tiempo y comente los resulta-
es inversamente proporcional a la población. Un modelo de esta dos.
relación es b) Grafique la simulación de a), pero emplee un enfoque de
estado-espacio.
G = G′(p – p) c) Después de 1993, suponga que los administradores de la
máx
vida silvestre atrapan un lobo por año y lo llevan fuera de
donde G ′ = tasa de crecimiento dependiente de la población (por la isla. Pronostique cómo evolucionaría tanto la población
persona-año) y p = población máxima sostenible. Así, cuando de lobos como de alces hacia el año 2020. Presente sus re-
máx
la población es pequeña (p << p ), la tasa de crecimiento será sultados tanto como una serie de tiempo como una gráfica
máx

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