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890 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES PARABÓLICAS

Esta molécula se compara con otras de este capítulo para ilustrar las diferencias entre
los métodos.
EJEMPLO 30.1 Solución explícita para la ecuación de conducción de calor unidimensional

Planteamiento del problema. Con el método explícito calcule la distribución de
temperatura en una barra larga y delgada que tiene una longitud de 10 cm y los siguien-
tes valores: k′ = 0.49 cal/(s cm °C), ∆x = 2 cm y ∆t = 0.1 s. En t = 0, la temperatura
de la barra es cero, y las condiciones de frontera se fijan para todos los tiempos en T(0)
= 100°C y T(10) = 50°C. Considere que la barra es de aluminio con C = 0.2174 cal/(g
3
2
2
°C) y r = 2.7 g/cm . Por lo tanto, k = 0.49/(2.7 0.2174) = 0.835 cm /s y l = 0.835(0.1)/(2)
= 0.020875.
Solución. Aplicando la ecuación (30.5) se obtiene el siguiente valor en t = 0.1s para el
nodo en x = 2 cm:
1
T 1 = 0 + 0.020875[0 – 2(0) + 100] = 2.0875
En los otros puntos interiores, x = 4, 6 y 8 cm, los resultados son
1
T 2 = 0 + 0.020875[0 – 2(0) + 0] = 0
1
T 3 = 0 + 0.020875[0 – 2(0) + 0] = 0
1
T 4 = 0 + 0.020875[50 – 2(0) + 0] = 1.0438
En t = 0.2 s, los valores obtenidos para los cuatro nodos interiores son
2
T 1 = 2.0875 + 0.020875[0 – 2(2.0875) + 100] = 4.0878
2
T 2 = 0 + 0.020875[0 – 2(0) + 2.0875] = 0.043577
2
T 3 = 0 + 0.020875[1.0438 – 2(0) + 0] = 0.021788
2
T 4 = 1.0438 + 0.020875[50 – 2(1.0438) + 0] = 2.0439
El cálculo continúa y los resultados en intervalos de 3 segundos se ilustran en la figura
30.4. El aumento general de la temperatura con el tiempo indica que el cálculo capta la
difusión del calor desde las fronteras del interior de la barra.

FIGURA 30.4
Distribución de temperatura en una barra larga y delgada, calculada con el método
explícito que se describe en la sección 30.2.

T t = 0.1
x = 2
k = 0.835
80
t = 9
t = 12
40 t = 3
t = 6
0 4 8 x

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