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30.2 MÉTODOS EXPLÍCITOS 891

30.2.1 Convergencia y estabilidad

Convergencia significa que conforme ∆x y ∆t tiendan a cero, los resultados de la técni-
ca por diferencias finitas se aproximarán a la solución verdadera. Estabilidad significa
que los errores en cualquier etapa del cálculo no se amplifican, sino que se atenúan
conforme avanza el cálculo. Se puede demostrar (véase Carnahan y cols., 1969) que el
método explícito es convergente y estable si l ≤ 1/2, o
1 ∆x 2
∆t ≤ (30.6)
2 k

Además, se debe observar que cuando l ≤ 1/2 se tiene como resultado una solución
donde los errores no crecen, sino que oscilan. Haciendo l ≤ 1/4 asegura que la solu-
ción no oscilará. También se sabe que con l = 1/6 se tiende a minimizar los errores por
truncamiento (véase Carnahan y cols., 1969).
La figura 30.5 es un ejemplo de inestabilidad causada al violar la ecuación (30.6).
Esta gráfica es para el mismo caso del ejemplo 30.1, pero con l = 0.735, que es consi-
derablemente mayor que 0.5. Como se advierte en la figura 30.5, la solución experimen-
ta en forma progresiva mayores oscilaciones. Esta situación continuará conforme el
cálculo continúa.
Aunque al satisfacer la ecuación (30.6) se disminuirían las inestabilidades del tipo
mostrado en la figura 30.5, también impone fuertes limitaciones al método explícito. Por
ejemplo, suponga que ∆x se reduce a la mitad para mejorar la aproximación de la segun-
da derivada espacial. De acuerdo con la ecuación (30.6) el tamaño de paso para el
tiempo debe reducirse a un cuarto para mantener la convergencia y la estabilidad. Así,
para realizar cálculos comparables, los tamaños de paso del tiempo deben aumentar por
un factor de 4. Es más, el cálculo para cada uno de estos tamaños de paso del tiempo
tomará el doble de tiempo, ya que al dividir ∆x a la mitad se duplica el número total de
nodos para los cuales hay que aplicar las ecuaciones. En consecuencia, en el caso uni-
dimensional, reducir ∆x a la mitad da como resultado un aumento de ocho veces en el
número de cálculos. Así, la carga computacional puede resultar tan grande que impida
alcanzar una exactitud aceptable. Como describiremos en breve, hay otras técnicas que
no adolecen de limitantes tan severas.

30.2.2 La derivada en las condiciones de frontera

Como en el caso de las EDP elípticas (recuerde la sección 29.3.1), la derivada en las
condiciones de frontera se puede incorporar fácilmente a las ecuaciones parabólicas.
Para una barra unidimensional, se necesita agregar dos ecuaciones para caracterizar
el balance de calor en los nodos extremos. Por ejemplo, el nodo del extremo izquierdo
(i = 0) se representará por
l+1
l
l
l
l
T = T 0 + l(T 1 – 2T 0 + T –1 )
0
Así, se introdujo un imaginario punto en i = –1 (recuerde la figura 29.7). Sin embargo,
como en el caso elíptico, este punto ofrece un medio para incorporar en el análisis la
derivada en las condiciones de frontera. El problema 30.2, que está al final de este ca-
pítulo, se ocupa de este ejercicio.

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